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392 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
T eorem a 2. S i la ecuación de una superficie no se altera cuando se
les cambia el signo a dos de sus variables, la superficie es simétrica con
respecto al eje coordenado a lo largo del cual se mide la variable cuyo signo
no se cambió, y recíprocamente.
T eohema 3 . S i la ecuación de una superficie no se altera cuando
sus tres variables cambian de signo, la superficie es simétrica con respecto
al origen, y reciprocamente.
Supongamos que la ecuación de una superficie es
F(.x, V, z) = 0. (1)
Se puede obtener una buena idea de la forma de esta superficie estudiando
la naturaleza de sus secciones planas. Tales secciones pueden
determinarse convenientemente cortando la superficie por una serie de
planos paralelos a los planos coordenados. Por ejem plo, los planos
paralelos al plano XY pertenecen a la familia cuya ecuación es z — k ,
en donde k es una constante arbitraria o parám etro. Entonces, de la
ecuación (1), tenemos que
F(x, y , h) — 0, z = k , ( 2 )
son las ecuaciones de la curva de intersección del plano con la superficie
, correspondiendo a cada valor asignado a k una curva determinada.
Y como la curva ( 2 ) está en el plano z = k , puede determinarse
su naturaleza por los métodos de la Geometría analítica p lan a.
El concepto de la extensión de una superficie es análogo al de
la extensión de una curva plana ya estudiado en el Artículo 17.
Si se da la ecuación de una superficie en la forma (1 ) , se puede
ver de despejar una de las variables en función de las otras dos.
S i, por ejem plo, despejamos z en función de x y y podemos
escribir la ecuación en_ la forma
2 = /(*, y)- (3)
Una ecuación en la forma explícita (3) nos permite obtener los intervalos
de variación de los valores reales que las variables pueden tom ar.
E sta información es útil para determinar la localización general de la
superficie en el espacio coordenado ; también indica si la superficie es
cerrada o indefinida en extensión.
130. Construcción de una superficie. En este artículo vamos a
ilustrar la discusión de la ecuación de una superficie y la construcción
de la misma mediante varios ejemplos.