geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 437
3. Dar una discusión completa del elipsoide achatado cuya ecuación es
Construir la superficie.
y-2 ,,2 y 2
i T + T2 + ^ - = 1’ a > b -
a2 b2 a2
En cada uno de los ejercicios 4-7, discutir y construir el elipsoide cuya ecuación
se da.
4. í l + vl + ll=l. 6. 36jc2 + 9y2 + 4z2 = 36.
5. ÍL! + J£ + -L != 1 . 7. 4x2 + y2 + z 2 — 8x = 0.
8. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se
mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a los ejes
X y y es siempre igual a 4. Construir la superficie.
9. En Cálculo infinitesimal se demuestra que el volumen limitado por un
elipsoide es igual a %xabct siendo a, b y c los semiejes. Hállese el volumen
limitado por el elipsoide 4x2 + 3y2 + 2z2 — 8x + 12y + 4 = 0.
1 0 . Dar una discusión completa del hiperboloide de una hoja cuya ecuación
y 2 y 2 ^ 2 ( ( (
es — — ----- = 1. Construir la superficie y su cono asintótico*
a- b2 c2
11. Dar una discusión completa del hiperboloide de dos hojas cuya ecuación
^2 2 > f t < t
es — — — - -f 1 = 0 . Construir la superficie y su cono asintótico.
a2 b¿ c2
En cada uno de los ejercicios 12-17, discútase y construyase el hiperboloide
cuya ecuación se da. Construyase también su cono asintótico.
18, Construir los hiperboloides conjugados que tienen a la superficie
x 2 + y2 — z2 = 0 por cono asintótico común.
19. Hallar las ecuaciones de cada haz alabeado del hiperboloide
a:2 - 4y2 + 2z2 = 1,
14. x2 + y2 — 2 z2 = 4.
15. x2 + y3 — 2 z2 + 6 = 0.
16. 2x2 — 3y¡ + z2 = 6.
17. 2x2 - y2 + 8z 2 + 8 = 0.
y demostrar que estas rectas se cortan.
20. Hallar la ecuación del hiperboloide de revolución de una hoja engendrado
por la rotación de la recta y = 2, z = x, en torno del eje Z . Construir
la superficie.
21. Hallar la ecuación canónica de una cuádrica con centro, si la superficie
pasa por el punto (1, 1. — 1) y por la curva Ay2 + 2z2 = 3, x = 2. Construir
la superficie.
22. Discutir e ilustrar cada una de las superficies del tipo (II) (Art. 139)
cuando uno o dos de los coeficientes son nulos.
23. Dar una discusión completa del paraboloide elíptico cuya ecuación
as iL -f-JL = cy. Constiuir la superficie para c > 0 y también para c < 0.
a2 b2