geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

336 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Del teorema 7 se deducen los dos corolarios siguientes :
C o r o la r io 1 . Para que dos rectas dirigidas sean paralelas es necesario
y suficiente que sus números directores correspondientes sean proporcionales
.
C o r o la r io 2. Para que dos recias dirigidas sean perpendiculares
es necesario y suficiente que la suma de los productos de sus números
directores correspondientes sea igual a cero.
Ejem plo. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos
P i( l, - 1, 2 ), P 2 (4, 5, - 7 ) y P 3 ( - 1. 2, 1).
Solución. El triángulo es el de la
Z figura 163. Sea el ángulo P2 P1 P3 = 0,
I P 1 P 2 | = di y | Pi P3 | = d-2 . El área del
triángulo es (Apéndice IC, 12)
Fig. 163
K = Vi di ¿2 sen 6. (4)
El sentido de los lados del ángulo 6
correspondiente al vértice P i es el indicado
en la figura. Para obtener los signos correctos
de los cosenos directores de estos
lados, restamos las coordenadas de P 1 de las
coordenadas correspondientes de P 2 y P 3
(nota, teorema 3, Art. 110) . Por tanto,
por el corolario 2 del teorema 5, Art. 111,
los números directores de
Pi P2 son [4 - 1, 5 + 1, - 7 - 2] ,
o sea, [3, 6, - 9 ] ó [1, 2, -3],
y los de Pi P3 son [ — 1 — 1, 2 + 1, 1 —2], o sea, [--2, 3, — 1].
Por tanto, por el teorema 7 ó por el teorema 6, tenemos
__________ 1 ( - 2) + 2 ■ 3 + ( - 3) ( - 1) = - 2 + 6 + 3 =
C° S V l2 + 22 + ( - 3 ) 2 \ / ( — 2 ) 2 + 32 + ( — l ) 2 V l 4 V T 4 2
Como 6 es agudo, sen 6 = \ / 1 — eos2 8 = -----
2
Por el teorema 1 del Artículo 108,
di = V 32 + O2 + ( — 9) 2 = V"Í26 = 3 %/Ti
y ________________ ______
d2 = V ( - 2) 2 + 32 + ( - l ) 2 = V 14.
Sustituyendo estos valores en la relación (4) , tenemos, para el área buscada,