geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

140 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Si en esta última ecuación sustituimos los val ores dados por (3),
obtenemos la primera ecuación de transformación ,
Análogamente , de (2),
x = x' eos 6 — y' sen 6 .
y = r sen (0 + ) = r sen 8 eos 4> + r eos 6 sen ,
por ta n to , de (3), tenemos la segunda ecuación de transformación,
y — x' sen 6 + y' eos 6 .
N o t a . Para nuestras aplicaciones, será necesario girar los ejes coordenados
solamente un ángulo suficientemente grande para hacer coincidir uno de los ejes
coordenados con una recta dada fija
cualquiera, o para hacer que sea
paralelo a ella en el plano coordenado.
De acuerdo con esto, restringiremos,
en general, los valores del
ángulo de rotación 0 al intervalo
dado por
0° < 8 < 90°.
Ejemplo 1. Transformar la
ecuación
2x2 + V 3 xy + y3 = 4 (4)
girando los ejes coordenados un ángulo
de 30°. Trazar el lugar geométrico
y ambos sistemas de ejes coordenados.
Solución. Por el teorema 2, las ecuaciones de transformación son
V I 1
x = x' eos 30° — y' sen 30° = -------x' — r- y',
2 2
y = x' sen 30° + y' eos 30° = y x' + y' ■
Si sustituimos estos valores de x y y en la ecuación (4), obtenemos
2 ( ^ r j ' ~ + V 1 í » ' ) ( l - ' + ^ r * ' )
+ ( t ' ' + Í T » ') - “•
Desarrollando y simplificando esta última ecuación, obtenemos la ecuación
transformada
5x» + y'2 = 8. (5)
El lugar geométrico (fig. 70) es una elipse.