geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

CURVAS EN EL ESPACIO 449
ilustración de tal representación param étrica de una curva del espacio
para la línea recta (véase el teorem a 3 del Artículo 124).
Las ventajas y aplicaciones de las ecuaciones param étricas de una
curva del espacio son sem ejantes a las de una curva plana (A rt. 8 9 ).
Podem os anotar aquí q u e , en el estudio de las curvas del espacio por
los m étodos de la Geom etría diferencial, se em plea casi exclusivam ente
la representación p aram étrica.
Si se dan las ecuaciones de una curva del espacio en la form a rectangular,
las coordenadas de los puntos de intersección con una superficie
se obtienen resolviendo el sistem a form ado por las ecuaciones de
la curva y la superficie. E n general, este procedim iento no es tan
sencillo como el m étodo empleado en el siguiente ejemplo cuando la
curva está representada param étricam ente.
Ejemplo 1. Hallar las coordenadas de los puntos de intersección de la curva
y la superficie
x = í, y = t, z - V 2 — t2 , (1)
x2 + y2 = 2z. (2)
Solución. Las coordenadas de un punto de intersección de la curva (1) y
la superficie (2) deben satisfacer las ecuaciones de la curva y la superficie. Las
coordenadas de tal punto corresponden a un valor definido del parámetro í;
este valor de t puede obtenerse sustituyendo los valores de x, y y z de ( 1) en
la ecuación (2) . Esto nos da la ecuación
12 + t2 = 2 y j 2 - t2 ,
cuyas soluciones se hallan fácilmente y son ! = ± 1. Sustituyendo estos valores
de í en las ecuaciones ( 1), obtenemos (1, 1, 1) y ( - 1, — 1, 1) como coordenadas
de los puntos de intersección.
Si se dan las ecuaciones de una curva del espacio en una forma
p aram étrica, podemos construir la curva por dos m étodos. D e las
ecuaciones param étricas podemos determ inar las coordenadas de algunos
puntos de la c u rv a , y trazando un núm ero suficiente de estos
puntos se puede obtener una gráfica ad ecu ad a. Por otra parte , eliminando
el parám etro , obtenem os las dos ecuaciones rectangulares de la
c u rv a , que puede construirse como se discutió previam ente.
Se observó anteriorm ente que para algunas curvas p la n a s, como la
cicloide (A rt. 93), la representación param étrica es m ás conveniente
que la representación rectan g u lar. A nálogam ente, para algunas curvas
del espacio, como la hélice, que estudiam os a continuación, la
representación param étrica tiene ciertas ventajas sobre la representación
rectangular.