geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA RECTA EN EL ESPACIO 383
18. Demostrar que la recta x + 3y + z + 9 = 0, 4x + 3y — 2z + 12 = 0,
es paralela al plano 2jc — 3y — 4z + 6 = 0.
19. Demostrar que la recta x — 2y — z + 7 = 0, 2x — lOy + z + 5 = 0,
es perpendicular al plano 4x + y + 2z — 5 = 0.
20. Demostrar que las rectas 2x + y + z = 0, x — 4y -f- 2z + 12 = 0, y
— = —-------— son paralelas.
2 - 3 3
21. Demostrar que las rectas 2x + y — 2z + 10 = 0, y + 2z — 4 = 0, y
------— = M.-----— = ^^ son perpendiculares.
4 - 3 2
22. Hallar el ángulo obtuso que forman las rectas ^ ^ ^ ?
4 — 2 — 3
y x + y — 2z + 11=0, 2* — y + z — 9 = 0.
23. Demostrar que las rectas 6* + 5y + 5z = 0, x + y + 2z — 1 = 0, y
7* + 6y + 7z — 2 = 0, 7x + 2y — 21z — 86 = 0, son paralelas.
24. Demostrar que las rectas 4jc + y — z + 15 = 0, x — y — z + 5 = 0, y
2x + y + z + l=0, * — y-¡-2z—7 = 0, son perpendiculares.
25. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 2x + y — 4z — 2 = 0,
4x — 3y + 2z—4 = 0, y x + 5y-|-z + l= 0 , x y — z — 1=0.
127. Posiciones de una recta y un plano. En este artículo consideraremos
primero las posiciones que pueden ocupar una recta l cuyos
números directores son [ a , b , c ] y un plano 8 cuya ecuación es
A x + B y + Cz + D = 0 .
La recta l y el plano 8 son paralelos si y solamente si l es perpendicular
a la normal a 8 . Por tanto , por el corolario 2 del teorema
7 , Artículo 112, una condición necesaria y suficiente para el
paralelismo de l y 8 está dada por la relación
A a + Bb + Ce = 0. (1 )
La recta l y el plano 8 son perpendiculares entre sí si y solamente
si l es normal a 8 . Por ta n to , por el corolario 1 del teorema 7 , Artículo
112, una condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad
de l y 8 está dada por las relaciones
A — k a , B = k b , C = k c , (2 )
en donde k es una constante diferente de cero.
Un resumen de estos resultados lo expone el siguiente
T eorema 4 . La condición necesaria y suficiente para que la recta
cuyos números directores son [ a , b , c ] y el plano cuya ecuación es
Ax + B y + Cz + D = 0 ,
a) sean paralelos, es Aa + Bb + Ce = 0 ;
b) sean perpendiculares, A = k a , B = k b , C = k c , (k ^ 0 ).