geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

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438 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO 24. Dar una discusión completa del paraboloide hiperbólico cuya ecuación e s ----------x2 z2 = cy. Construir la superficie para c > 0 y también para c < 0. a2 b2 En cada uno de los ejercicios 25-30, estudiar y construir el paraboloide cuya ecuación se da. 25. x2 + 2 z 2 = 4y. 27. 9x2 + 4 z2 + 36y = 0. 26. x2 - y2 + z = 0. 28. 4y2 + z2 + Zx = 0. 29. x2 + y2 - 4* - 6y - 18z +13=0. 30. x2 - y2 - 2* + 4y + z - 6 = 0. 31. Hallar las ecuaciones de cada uno de los haces alabeados del paraboloide hiperbólico x2 — y2 — 4z, y demostrar que estas rectas se cortan. 32. Hallar la ecuación canónica de una cuádrica sin centro, si la superficie se extiende a lo largo del eje Z y pasa por los puntos (2, 1, 1) y (4, 3, — 1) . Construir la superficie. t í r 1 • y 2 í/2 íi2 y 2 33. Las dos superficies — — = 1 y -------= 1 se llaman cilindros hia2 b2 b2 a2 perbólicos conjugados. Demostrar que ambas superficies son asintóticas a los planos que se cortan .í, -j- -M. = 0 y — — a b a b = 0. Estos planos se llaman, apropiadamente, planos asintóticos comunes de los cilindros. Constrúyanse los cilindros y sus planos asintóticos. 34. * Demostrar que el paraboloide • * • x2 ty2 , ( hiperbólico ------?— = cz es asintótico a2 b2 a los planos que se cortan — +-^- = 0 y — — -^-=0. Estos planos son 11aa b a b mados, apropiadamente, planos asintóticos. Constrúyase la superficie y sus planos asintóticos. 35. Demostrar que las rectas de cada haz alabeado del paraboloide hiperbó lico — = cz son paralelas a cualquiera de sus planos asintóticos (ejera2 b2 cicio 34) . Los ejercicios 36-39 se refieren al sistema de cuádricas con centro y 2 «|2 y 2 — 1— a--- 1-2— = 1. (?) a2 + k T b2 + k ^ c2 + k en donde o > 6 > c > 0 yel parámetro k puede tomar todos los valores reales excepto — a2, — b2, — c2, y cualquier valor menor que - a2. Este sistema es análogo al sistema de cónicas con centro (homofocales) discutido en el Art. 77. 36. Para k > — c2, demuéstrese que la ecuación (5) representa un sistema de elipsoides cuyas trazas sobre el plano X Y son todas elipses que tienen los fo cos comunes (± y/ a2 — b2 , 0, 0 ). 37. Para — b2 < k < — c2, demuéstrese que la ecuación (í) representa un sistema de hiperboloides de una hoja cuyas trazas sobre el plano XV son todas elipses que tienen los focos comunes (± \ / a2 — b2 , 0, 0 ) . 38. Para — a2 < k < — b2, demuéstrese que la ecuación (5) representa un sistema de hiperboloides de dos hojas cuyas trazas sobre el plano X Y son todas hipérbolas que tienen los focos comunes (± %/ a2 — b2 , 0, 0 ) .
SUPERFICIES 439 39. Los resultados de los ejercicios 36-38 muestran que las trazas del sistema (5) sobre el plano XY, para todos los valores permisibles de k, son cónicas homofocales (Art. 77) . Demuéstrese que se verifican resultados semejantes para las trazas sobre el plano X Z y también para las trazas sobre el plano Y Z de los elipsoides e hiperboloides de una hoja solamente, no habiendo ninguna traza sobre el plano Y Z para los hiperboloides de dos hojas. En vista de esta propiedad, se dice que la ecuación (5) representa un sistema de cuádticas homofocales. 40. Establecer y demostrar un resultado análogo al del ejercicio 39 para el sistema de cuádticas sin centro v2 ,,2 las cuales, por esto, se llaman paraboloides homofocales.
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