geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACIONES PARAMETRICAS 273
geom étrico, a el radio y C el centro de la circunferencia que ru e d a ,
como se indica en la figura 129. Tomaremos como parám etro el ángulo
9 que gira la circunferencia al rodar partiendo de su posición inicial
en el origen. Sean A y B, respectivamente , los pies de las perpendiculares
bajadas de P y C al eje X. Tracemos PD perpendicular
Y
a B C . Como la circunferencia ru ed a, sin resbalar, desde O hasta B ,
tenemos
OB = arco P B .
Si 9 se mide en radianes, tenemos (Apéndice I C , 4)
Por tanto , de la figura 129 ,
arco PB = a9 .
x = OA = OB — AB = ad — PD — a9 — a sen 9 ,
y = AP = BD - BC — DC — a — a eos 9 ,
de manera que las ecuaciones paramétricas de la cicloide son
x = a {9 — sen 9) , y = a (1 — eos 0). (1)
Por el método empleado en el ejemplo del Artículo 91, podemos
demostrar que la ecuación rectangular de la cicloide ( 1) es
(l __ qj ----------------x
= a are eos — ^ V 2ay — y2, ( 2 )
en donde debe tomarse el signo positivo o el negativo según que 9
sea menor o mayor que* jt radianes en el arco comprendido entre
9 = 0 y 9 = 2k .
El punto medio H de cualquier arco de la cicloide se llama vértice
del arco . Aquella porción OE de la recta fija comprendida entre los
puntos extremos de un arco se llama base del arco ; su longitud e s ,