geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR 297
en donde a , k y a son constantes. La amplitud de la curva (3 ) es
igual a | a \; por esto , la cantidad a se llama factor de am plitud. Un
ciclo completo del lugar geométrico de la ecuación (3 ) se obtiene
cuando el ángulo kx + a varía en 2jt radianes. Como k y a son
constantes, esta variación puede efectuarse solamente alterando el
valor de x . Evidentem ente, lo que tiene que variar x , digamos p ,
es el período de la curva (3). Para calcular el valor de p escribimos
de donde,
y
k (x + p ) + a — (kx + a ) = 2jt ,
kp = 2jt,
Vemos, por lo tanto, comparando los períodos de las curvas (1 ) y (3),
que, mientras la curva (1 ) tiene un ciclo en el intervalo de 0 a 2jt ,
la curva (3 ) tiene k ciclos en el mismo intervalo. Por esto, a la
constante k se le llama factor de periodicidad.
E l ángulo a en la ecuación (3 ) no afecta ni la amplitud ni el
período de la sinusoide, pero afecta la posición de la curva con relación
a los ejes coordenados. Esto puede verse escribiendo la ecuación (3 )
en la forma
y = a sen k (4 ) (*+i)
y comparando su gráfica con la ecuación
y = a sen kx. (5 )
Los lugares geométricos de las ecuaciones (4 ) y (5 ) son idénticos en
forma, pero si se trazan en el mismo sistema de ejes coordenados
aparecen como curvas separadas para las cuales los puntos correspondientes
tienen las mismas ordenadas pero sus abscisas difieren en una
ot
cantidad igual a Se dice entonces que la dos curvas están fu era
Ct
de fase o defasadas, y al ángulo se le da por esto el nombre de
ángulo de fase.
Ejemplo. Trazar la sinusoide cuya ecuación es
y = 2 sen (V2 x + 1) , (6)
y determinar su amplitud, período y ángulo de fase.