geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

130 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Por el teorema 4 del Art. 8, tenemos
de manera que
mi - — V.1- ...
x i + r
mi m¡
y m3 = ----«i-
Pero, como Pi está sobre la semicircunferencia, sus coordenadas (xi, y¡) deben
satisfacer la ecuación (1) , y tenemos
de donde,
i/i'
xi2 + y iJ = r2,
Xi¿ — ra = — yi2.
De esta última relación y (3) obtenemos, inmediatamente, la relación buscada
(2) , como se quería demostrar.
En relación con la resolución de problemas sobre lugares geométricos
relativos a circunferencias, seguiremos el procedimiento general
bosquejado en el Artículo 23.
Ejemplo 2. Un punto se mueve de tal manera que la suma de los -uadrados
de sus distancias a dos puntos fijos dados es constante. Hallar la ecuación de su
lugar geométrico, y demuéstrese que es una circunferencia.
Solución. Por simplicidad, y sin ninguna restricción, podemos tomar uno
de los puntos como origen O y el otro punto A (a, 0 ), a ?£ 0, sobre el eje X,
como se indica en la figura 64. Sea P (x, y) un punto cualquiera del lugar
geométrico. Entonces P debe satisfacer la condición geométrica
y PO2 + J a " - k, (4)
en donde k es un número positivo.
Por el teorema 2 del Artículo 6,
PO2 = + y2
y ___
J a 2 = o - a)2 + y2,
(3)
de manera que la condición geométrica
(4) puede expresarse, analíticamente,
por la ecuación
x2 + y2 + (x — a) 2 + y2 = k (5)
que se reduce a ’
x 2 -f* y2 ~ ox + - f = 0 . (6)
Por el teorema 2 del Artículo 40, la ecuación (6) representa una circunferencia
cuyo centro es el punto C ( f ° ) y cuyo radio tiene una longitud
PC = Jé \ / 2k — a2, siempre que, sin embargo, la constante k > —— Si
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