geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

264 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
15. Trazar la gráfica del caracol representado por la ecuación (3) del ejemplo
2 del Artículo 88, cuando k = 2a. Demostrar que en este caso el lugar geométrico
es una cardioide. (Véase el ejemplo 1 del Art. 82.)
16. Trazar la gráfica del caracol representada por la ecuación (3) del ejemplo
2 del Artículo 88, cuando k > 2a.
17. Hallar la ecuación polar del caracol del ejemplo 2 del Artículo 88,
cuando la circunferencia dada tiene su centro en el punto ( ' • í ) , y construir
la gráfica correspondiente.
Los ejercicios 18-20 se refieren a la figura 124 del ejemplo 2 del Artículo 88.
18. Hallar la ecuación polar del lugar geométrico del punto P si | BP | = | BC |
para todas las posiciones de OP.
19. Sea D el pie de la perpendicular trazada desde el punto B al eje polar.
Hallar la ecuación polar del lugar geométrico del punto P si | BP! = | BD | para
todas las posiciones de OP.
20. Con referencia a la figura del ejercicio 19, hallar la ecuación polar del
lugar geométrico del punto P si | BP | = ¡ OD | para cualquier posición de OP.
21. Una circunferencia dada rueda, sin resbalar, sobre otra circunferencia
del mismo radio pero de posición fija. Hallar e identificar la ecuación polar del
lugar geométrico descrito por un punto de la primera circunferencia.
22. Sea a la distancia de un punto fijo O a una recta fija l. Se traza por O
una recta cualquiera l' que corta a l en el punto B. Sobre V se toman dos
puntos P y P' a la derecha y a la izquierda de B, respectivamente, tales
que I BP | = | P'B | = b, una constante, para cualquier posición de Si se
toma el punto O como polo y la recta Z perpendicular al eje polar y a la derecha
de O, demuéstrese que la ecuación polar del lugar geométrico descrito por
P y P1 a medida que l1 gira en torno de O, es r = a sec 8 ± b. Dicho lugar
geométrico se llama concoide de Nicomedes. Trácese la curva para el caso en
que b > a.
23. Trazar la concoide del ejercicio 22 cuando b = a.
24. Trazar la concoide del ejercicio 22 cuando b < a.
25. En la construcción del ejercicio 22, supongamos que los puntos P y P1
se toman sobre V de tal manera que, para todas las posiciones de l1, sea
\bp\ = \F b \ = z ,
siendo z la distancia de B al eje polar. Demostrar que la ecuación polar del
lugar geométrico descrito por P y P1 a medida que l’ gira en torno de O es
r = a (sec 9 ± tg 6) .
La curva así obtenida se llama estrofoide.