geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

232 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
9. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia
x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
en el punto de contacto P¡ (xi, yi) .
10. Por tres métodos diferentes, hallar la ecuación de la tangente a la
circunferencia x2 + y2 — 4x — 6y — 12 = 0 en el punto (5, 7) .
11. Suponiendo que k es una constante diferente de cero, demostrar que el
triángulo formado por los ejes coordenados y cualquier tangente a la hipérbola
equilátera xy = k tiene un área constante. (Ver el ejercicio 20 del grupo 33,
Artículo 70.)
12. Si a es una constante diferente de cero, demostrar que la suma algebraica
de los segmentos que una tangente cualquiera a la cónica
x 2 — 2xy + y2 — 2 ax — 2 ay + a2 = 0
determina sobre los ejes coordenados es igual a a.
13. La ecuación de una familia de cónicas es
x 2 + xy — y2 + ax + by + 5 = 0.
Hallar la ecuación del elemento de la familia que pasa por los dos puntos (1, 2)
’(*f -f>
14. Hallar la ecuación de la cónica que pasa por los cinco puntos ( — 1, 6) ,
(2, 5), (3, 4), (4, 1) y ( - 5, 4).
15. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los cuatro puntos (1, 0) ,
K -{)• ( f --£)* ■
16. Hallar la ecuación de la cónica que pasa por los cinco puntos (1, 1) ,
(2, 0), ( - ± , A ) , (0, 0) y (2, - 1).
17. Sobre el mismo sistema de ejes coordenados, trácense cinco elementos de
la familia de cónicas representada por la ecuación (2) del Artículo 77, asignando
al parámetro k los valores — 1, 0, 1, 2 , 3.
18. Hallar la ecuación de la cónica que pasa por el punto (— 2, 3) y por
las intersecciones de las cónicas
x2 + 2xy + y2 — 2x + 3y + 1 = 0 y 3xy + 2* — y — 2 = 0.
19. Hallar la ecuación de la cónica que pasa por el punto (4, — 2) y por
las intersecciones de las cónicas
x~ + xy + y- + * — 3y — 1 = 0 y 2x2 — xy — 2x + y = 0.
20. Escribir la ecuación de la familia de curvas que pasan por las intersecciones
de la circunferencia 2x2 + 2y2 = 5 y la elipse x 2 + 3y2 = 5. Demostrar
que, cuando el parámetro es igual a — 1, el elemento de esta familia consiste en
dos rectas que se cortan.
21. Hallar las ecuaciones de las parábolas que pasan por las intersecciones
de las cónicas 4x2 + y2 — 4 = 0 y xy + 3x + 5y + 3 = 0. Sugestión. Calcúlese
el valor dsl parámetro usando la relación B2 — 4AC = 0.
22. Hallar las ecuaciones de las parábolas que pasan por las intersecciones de
las cónicas 2xy + 2y2 + 3x — y — 1 = 0 y x2 — xy + 2y2 + x + y — 3=0.