geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

224 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
como se indica en la figura 104. Para el foco (c, 0) y su directriz
correspondiente x = k , tenem os, de la definición general de las cónicas
,
V (x — c)¿ r
e. (6 )
k
Se deja al lector, como ejercicio , la demostración de que la ecuación
(6) se reduce a la forma ordinaria
( , e * * - c V
( * + T Z S J
e2 (k — c)2
(1 - e 2)2
y
= 1. (7)
e- (k — c)‘
1 - e 2 '
Como las ecuaciones (5) y (7) representan un mismo lugar geométrico
, u n a elipse cuyo centro
está en el origen , de la ecuación
(7) se sigue que
de donde,
k =
e2 k — c = 0 ,
ae
e-
Por tanto , para el foco (c , 0 ),
de la elipse (5), la ecuación d
la directriz es x — . Análogamente, para el foco ( — r , 0) y la
directriz correspondiente x = l , hallamos x = — — .
Exactamente por el mismo procedimiento, hallamos, para la hipérbola,
62 x2 — a2y2 = a" b2, que sus focos (c, 0) y (—c, 0) tienen
por directrices correspondientes a las rectas cuyas ecuaciones son , res­
pectivamente , x — — y
c X e
Los resultados precedentes están comprendidos en el siguiente
T e o r e m a 5. Para la elipse b2 x'2 + a2 y 2 = a2 b2 y la hipérbola
b2 x2 — a2 y 2 = a 2 b2, cada una de excentricidad e , los focos (a e, 0)
y (—ae, 0) tienen como directrices correspondientes las rectas cuyas
ecuaciones son x = — y x — — , respectivamente.