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LA HIPERBOLA 195
Si el centro de la hipérbola está en el origen pero su eje focal coincide
con el eje Y , hallam os, análogam ente, que la ecuación de la
hipérbola es
y l /j.2
W =1-
La discusión completa de la ecuación (12) se deja al estudiante.
Las ecuaciones (8 ) y (12) las llamaremos primera ecuación ordinaria
de la hipérbola. Son las más simples de esta curva por lo que nos
referiremos a ellas como formas canónicas.
Los resultados precedentes se resumen en el siguiente
T e o r e m a 1 . La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje
focal coincidente con el eje X , y focos los puntos (c, 0) y ( — c, 0), es
a 2 b 2
S i el eje focal coincide con el eje Y , de manera que las coordenadas
de los focos sean (0 , c) y (0, — c ) , entonces la ecuación es
_ i
a2 b2
Para cada hipérbola, a es la longitud del semieje transverso, b la del
semieje conjugado, c la distancia del centro a cada fo co, y a , b , c
están ligadas por la relación
c2 = a2 + b2.
Tam bién, para cada hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados
rectos es
2b2
— , y la excentricidad e está dada por la relación
c V a- + b- .
e = — = --------------- > 1.
a a
N o t a . La posición de una elipse con relación a los ejes coordenados puede
determinarse como se indicó en la nota del teorema 1 del Artículo 61. Este método
no es aplicable a la hipérbola, ya que podemos tener a> b, a < b o a = b.
La posición de la hipérbola se determina por los signos de los coeficientes de las
variables en la forma canónica de su ecuación. La variable de coeficiente positivo
corresponde al eje coordenado que contiene al eje transverso de la hipérbola.
Ejemplo. Los vértices de una hipérbola son les puntos V (0, 3) y
V'ÍO, —3), y sus focos los puntos F (0, 5) y F 1 (0, — 5) . Hallar la ecuación
de la hipérbola, las longitudes de sus ejes transverso y conjugado, su
excentricidad y la longitud de cada lado recto.