geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA RECTA EN EL ESPACIO 381
La forma simétrica muestra que los números directores de la recta (1) son
[2, — 3, — 7] y que el punto (0, — 1, —7) está sobre ella.
Se pueden obtener formas simétricas de la recta (1) despejando y en función
de x y z, o z en función de x y y. En cada caso se obtendrán los mismos números
directores, pero las coordenadas del punto serán diferentes.
La reducción puede efectuarse también hallando las coordenadas dedos puntos
de la recta (1) y aplicando la fórmula de las ecuaciones de la recta que pasa
por los dos puntos.
Cuando se necesita obtener solamente los números directores de una
recta partiendo de su forma general, es conveniente emplear el artificio
de los números directores (Art. 113). Esto se ilustra en el siguiente
ejem plo.
Ejemplo 2. Demostrar que la recta
es paralela al plano
x — y + 2z — 8 = 0, x + 2y + 8z — 20 = 0, (2)
3x - 2y + 8z - 5 = 0. (3)
Solución, Como la recta (2) está en cada uno de los planos que la definen,
es perpendicular a cada una de las normales de estos planos. Los números directores
de estas normales son [1, — 1, 2] y [1, 2, 8 ]. Por tanto, por el artificio
de los números directores, los números directores de la recta (2) son
- 1 2 2 1 1 - 1
= - 12, - — 6 ,
2 8 8 1 1 2
o sea [4, 2, — 1], Los números directores de la normal al plano (3) son
[3, — 2, 8 ]. Entonces, como
4 . 3 + 2 ( - 2) - I . 8 = 0,
se sigue que la recta (2) es perpendicular a la normal al plano (3) y, por tanto,
es paralela al plano.
EJERCICIOS. Grupo 58
Dibujar una fig'ura para cada ejercicio.
En cada uno de los ejercicios 1-5, hallar los planos proyectantes de la recta
cuyas ecuaciones se dan. Usense estos planos proyectantes para construir la recta.
1. * + y + z = 6, 3x — y — z = 2.
2. 2x — y + 4z = 8, x + 3y — 5z = 9.
3. 3x -)- 2y — z = 4, 4jr — y -j- 7z = 14.
4. x — y — z = 2, 3x + 2y -f- z = 6.
5. 4x + 3y — 2z = 12, x — ?y + lOz = 5.