geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

TRANSFORMACION DE COORDENADAS 139
13. ** - 3y2 + bx + 6y + 3 = 0.
14. I2x2 + 18ys — 12x + 12y - 1 = 0.
15. I2x2 - l?y2 - 12x - 12y - 5 = 0.
En cada uno de los ejercicios 16-20, simplifíquese la ecuación dada por una
traslación de los ejes coordenados.
16. * 2 + 8* - 3y + 10 = 0.
17. 16*2 + 16y2 + 8* - 48y + 5 = 0.
18. 72*2 + 36y2 - 48* + 36y - 55 = 0.
19. y' — bx2 — 24* — 2y — 32 = 0.
20. 30*y + 24* - 25y - 80 - 0.
51. Rotación de los ejes coordenados. Para simplificar las ecuaciones
por rotación de los ejes coordenados, necesitamos el siguiente
teorema :
T eorem a 2. S i los ejes coordenados giran u n ángulo en torno de
su origen como centro de rotación , y las coordenadas de un punto cualquiera
P antes y después de la rotación son ( x , y) y (x ; , y ' ) , respectivamente
, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo
sistema de coordenadas están dadas por
D em o stració n . Sean (figura
69) X y Y los ejes originales y
X ' y Y' los nuevos ejes. Desde
el punto P tracemos la ordenada
A P correspondiente al sistema
X , Y , la ordenada A 'P correspondiente
al sistema X ' , Y ', y
la recta O P . Sea el ángulo
x = x ' eos 9 — y ' sen 9 ,
y = x' sen 9 + y ' eos 6 .
P O A ' = y O P = r . Por Trigonometría
(Apéndice I C , 1 ),
tenemos fig. w
x = O A = r eos ( # + < £ ) , (1 )
y = A P = r sen (0 + ), (2)
x' = O A ’ = r eos , y’ = A ' P = r sen . (3 )
De (1), por el Apéndice IC , 6 , tenemos
x = r eos (0 + 4>) = r eos 9 eos — r sen 9 sen .
Y