geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

Si dos cualesquiera de los coeficientes en la ecuación ( 2 ) son iguales
, la superficie se llam a elipsoide de revolución. E n p a rtic u la r, si
a > b y c = b , tenem os el elipsoide alargado, una superficie de rev o -
x ^ y^
lución que se obtiene haciendo girar la elipse -i—^ = 1 , 2 = 0 , en
torno de su eje m a y o r. T a m b ié n , si a>byc = a, tenem os el elipsoide
achatado o esferoide, que es una superficie de revolución que se
x^ y ^
obtiene haciendo girar la elipse -|— ^5 = 1 , 2 = 0 , en torno de su
eje m enor. Si a = b = c , la superficie ( 2 ) es una esfera de radio a;
luego , la superficie esférica es un caso especial del elipsoide.
b) Hiperboloide de una hoja. U na form a canónica de la ecuación
del hiperboloide de una hoja es
Las otras dos form as canónicas son
SUPERFICIES 429
x 2 v i 22
a2 + T 2 ~ c2 = 1- ^
0»2 / ij2 g 2 J .2 y 2
-£i - T 5 + ÍJ = 1 y - T + T5 + - T = la
2 b¿ c2 a2 o2 c2
N u estra discusión de la ecuación (3 ) servirá tam bién para estas dos
últim as fo rm a s, y a que las tres superficies difieren solam ente en sus
posiciones con relación a los ejes coordenados.
Las intercepciones con los ejes X y Y son ± a y ± b , respectivam
ente. N o h ay intercepciones con el eje Z .
Las trazas sobre los planos X Y , X Z y Y Z so n , respectivam ente,
/j*2 y 2 /j«2 ^ 2
la elipse — + = 1 , 2 =>0 , la hipérbola —¿ — — = 1 , y = 0 , y la
a o a c
■2 22
hipérbola -p — c2 = 1 , x = 0
C‘ ’
La superficie es sim étrica con respecto a todos los planos coordenados
, ejes coordenados y al origen.
Las secciones de la superficie por planos paralelos al X Y son las
elipses
yj»2 nj2 1,2
^ i + -^2= 1 + -¡7 > 3 = k - (4 )
D e las ecuaciones (4 ) se deduce q u e , a m edida que k aum enta de
v a lo r, estas elipses aum entan de ta m a ñ o . Se sig u e, ad e m á s, que la
superficie no es cerrada sino que se extiende indefinidam ente. E n
la figura 189(a ) aparece una p arte de la superficie, y se dice que se