geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA RECTA EN EL ESPACIO 375
Por el teorema 3 del Artículo 110, tenemos las relaciones
de donde
x — xi „ y — V i z — zi
eos a = — -— , eos p = a— — , eos y = — -— ,
Z Z o
x = xi+ícosa, y = yi + t eos |3 , 2 = zi + ícosy- (6)
Observando las ecuaciones (6), vemos que, asignando un valor p articular
a í , los valores de x , y y z quedan determ inados. Pero estos
son las coordenadas de un punto P de ¡. Se sigue por esto (Art. 89)
que las ecuaciones (6 ) son las ecuaciones paramétricas de la recta l ,
siendo la variable auxiliar t el parámetro. D e aquí el siguiente
T eorem a 3 . La recta que pasa por el punto Pi (xi, y i, zi) y tiene
los ángulos directores a , (3, y , tiene por ecuaciones paramétricas
x = xi + t eos a , y = yi + t eos |3 , z = zi + t eos y ,
en donde el parámetro t representa la longitud dirigida de Pi a un punto
cualquiera P(x, y, z) de la recta.
N o t a . Anotamos previamente que una recta en el espacio se representa analíticamente
por dos ecuaciones independientes. Aquí observamos que una recta
en el espacio se representa por tres ecuaciones paramétricas. Pero si eliminamos
al parámetro t entre estas tres ecuaciones, obtenemos las dos ecuaciones independientes
usuales.
EJERCICIOS. Grupo 57
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. Las ecuaciones de una recta l son
3x — 2y + 4z — 9 = 0 y x + y — 2z + 5 = 0.
Obtener otro par de ecuaciones para l. Comprobar el resultado hallando las coordenadas
de dos puntos que estén sobre l partiendo de las ecuaciones dadas y
demostrando entonces que estas coordenadas satisfacen al nuevo par de ecuaciones.
2. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (2, —1,4) y
tiene por números directores [3, — 1, 6] .
3. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (4, 0, í) y es
paralela a la recta cuyos números directores son [1, — 1, 3].
4. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( — 3, 2, 7) y es
perpendicular al plano 2x — 3y + z = 0.
5. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( — 2, 4, 3) y
cuyos números directores son [2, 0, —3].
6. Una recta pasa por el punto (6, 3, — 2) y es perpendicular al plano
4y 7z — 9 = 0. Hallar sus ecuaciones.