geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

CURVAS EN EL ESPACIO 441
cualesquiera que pasen por e lla . Veremos ahora que este im portante
concepto se aplica a las curvas del espacio en g eneral.
Consideremos una curva del espacio cualquiera dada por la intersección
de dos superficies diferentes cuyas ecuaciones, en form a simbólica
, pueden escribirse brevem ente
Con estas ecuaciones formemos la ecuación
» = 0 , # = 0. (1 )
u + kv = 0 , (2 )
en la que k es una constante o parám etro que puede tom ar todos los
valores reales. E videntem ente, si la ecuación (2 ) representa un lugar
geom étrico, se tra ta de una superficie (A rt. 128). E n p a rtic u la r,
cualquier solución común de am bas ecuaciones (1 ) es tam bién una
solución de la ecuación ( 2 ) . Por tan to , para cada valor del parám etro
k , la ecuación (2 ) representa una superficie que pasa por la
curva ( 1 ) . (Véase A rt. 7 7 .) E ste concepto es de ta l im portancia en
la teoría de las curvas del espacio que lo anotarem os en la form a del
siguiente
T e o r e m a . Para todos los valores del parámetro k , la ecuación
u -+ kv = 0
representa una fam ilia de superficies cada una de las cuales pasa por la
curva
u = 0 , v = 0.
La im portancia del teorem a anterior está en el hecho de que a
p artir de las ecuaciones dadas de una curva del espacio frecuentem ente
es posible obtener un par de ecuaciones m ás simples o m ás útiles que
la definan. Tendrem os ocasión de usar este hecho m ás adelante (A rtículo
145).
D ebe observarse que nuestro estudio de las curvas del espacio se
lim itará solam ente a su construcción. La investigación y determ inación
de las propiedades de la curva general del espacio requiere m étodos
avanzados que quedan fuera del program a de un curso elem ental
de Geom etría an a lític a .
143. Curvas planas en el espacio. Comenzaremos nuestro estudio
de la construcción de las curvas del espacio considerando el caso m ás
sencillo de una curva plana. Y a hemos estudiado algunos ejemplos
especiales de tales curvas como trazas de una superficie sobre los