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444 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
EJERCICIO S. Grupo 68
En cada uno de los ejercicios 1-12, construir la curva plana de intersección de
las dos superficies cuyas ecuaciones se dan.
1 . x2 + y2 + z2 = 16, z — 2. 6. 6*3 — 3y2-f 2z2 = 6, 2x=z.
2 . 2x2 + y2 + 2z2 = 4, y = 1. 7. x2 + z — 4 —0, y = 3z.
3. 3*2- 2 y 2- z 2+ 6 = 0, * = 3.
8. x2 + y2+ z2 = 4 , j c + y - 1.
4. x2 + y2 + z2 = 9, y = 2x.
9. y2 + z2 = 1, x + z = 1.
5. x2 + y2 = 1, y = z.
10. x2 - 4y2 - 4z2 = 0, 3x + 2y = 6.
11. x2 + y2 = 4, x + y — z = 0.
12. x 2 + y2 + z 2 = 9, x + y + z = 4.
En cada uno de los ejercicios 13-25, construir la curva de intersección de las
superficies cilindricas rectas cuyas ecuaciones se dan.
13. x2 + y2 = 1, x2 + z 2 = 1. 20. y2 + x = 4, y2 — 4z = 0.
14. y2 _|_ zü = 4) x 2 + y2 = 4. 21. *2 + z 2 = l, 3*2 + y2 =12.
15. x2 + z2 = 4, x 2 = y. 22. x2 + y2-4 y = 0 , y2+ 9z2=9.
16. x2 + y2 = 4, y2 + z = 4. 23. x'A + z^ = 2, y2 + z = 4.
17. X 2 + Z = 3, y2 + z2 = 9. 24. y = x3, 4y2 + z2 = 4.
18. y2 + x = 4, y2 + z = 4. 25. y% -(- z% — 1, x2 + z = 1.
19. y2 + x = 3, x2 + z = 9.
145. Cilindros proyectantes de una curva del espacio. Por el teorem
a del Artículo 142 vemos que hay una infinidad de pares de superficies
diferentes que con su intersección definen a una curva del espacio.
Vamos a considerar ahora un p ar especial que es m uy útil en la
construcción de curvas del espacio. Se seleccionan tres combinaciones
lineales de dos ecuaciones que definan una curva del espacio,
ta le s , que cada combinación carezca , respectivam ente, de una de las
tres variables x , y y z . E ste proceso consiste evidentem ente en
la eliminación sucesiva de una variable entre las dos ecuaciones que
definen la c u rv a . Como cada una de las ecuaciones resultantes carece
de una variable, se sigue, por el teorem a 6 del Artículo 133 , que cada
ecuación representa la superficie de un cilindro recto cuyas generatrices
son perpendiculares al plano coordenado en que no se mide esa variable.
A dem ás, como cada superficie cilindrica tiene a la curva del
espacio como d irectriz, se les lla m a , apro p iadam ente, cilindros -proyectantes
de la c u rv a .
V em os, entonces, que una curva del espacio tiene tres cilindros
p ro y ectan tes, uno para cada plano coordenado. Se aco stu m b ra, en
consecuencia, hablar del cilindro proyectante de una curva sobre el