geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

262 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Sustituyendo en (1) estos valores de | OD [ y | OC |, obtenemos
la cual se reduce a
r = 2a (sec 9 — eos 6) ,
r = 2a tg 6 sen 9,
que es la ecuación polar buscada. La curva se llama cisoide.
Ejemplo 2. Desde un punto fijo O de una circunferencia dada, de radio a,
se traza una cuerda cualquiera OB. Se prolonga la cuerda hasta el punto P de
tal manera que la distancia | BP | sea siempre una constante igual a k. Hallar
la ecuación polar del lugar geométrico descrito por P a medida que la cuerda
prolongada gira en torno de O.
Solución. Sin perder generalidad, podemos tomar el punto fijo O como
polo y el diámetro OC prolongado como eje polar (fig. 124) . Como P es un
punto cualquiera del lugar geométrico le asignaremos las coordenadas generales
(r, 6) , de manera que ¡ OP [ = r y el ángulo POC = 6. Según el problema,
para toda posición del segmento OP debemos tener
r = [ OP | = | OB | + | BP ¡ = | OB | + k. (2)
La ecuación de la circunferencia dada de radio a es r — 2a eos 9, según el
teorema 5 del Artículo 86. Por tanto, para toda posición de OP, se verifica
| OB | = la eos 6.
Sustituyendo este valor en la ecuación (2) , tenemos
r = 2a eos 9 + k, (3)
que e; la ecuación polar buscada. La curva se llama caracol de Pascal.
Hay tres casos por considerar, según que
k < 2a,
k = 2a,
y k > 2a.
El caso k < 2a está representado en la figura 124.