geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

278 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
obtenemos la forma simplificada de las ecuaciones paramétricas de la
astroide,
x — a eos3 6 , y = a sen3 d . (4)
Si tomamos la potencia dos tercios de ambos miembros de cada una de
las ecuaciones (4 ) y sum am os, obtenemos como ecuación rectangular
de la hipocicloide de cuatro picos
X v% -j- y% = a % _ ( 5 )
EJERCICIOS. Grupo 43
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. De las ecuaciones paramétricas (2) del Artículo 92, demostrar que el
tiempo en el cual alcanza el proyectil su altura máxima está dado por
f _ v0 sen a
2. Sí se conocen los ejes mayor y menor de una elipse, hallar un método
para construir cualquier punto P de la elipse conociendo su ángulo excéntrico.
3. Dados el centro y el eje mayor de una elipse, hallar un procedimiento
para construir e¡ ángulo excéntrico de cualquier punto dado P de la elipse.
4. Sean Pi y P2 puntos extremos de dos diámetros conjugados de una
elipse (véase el ejercicio 25 del grupo 29, Art. 63) . Demostrar que los ángulos
excéntricos de Pi y P 2 difieren en 90° ó 270°.
5. Obtener las ecuaciones paramétricas (6) del Artículo 92 para una hipérbola,
empleando una construcción en que b > a.
6. Sea l una recta dirigida hacia arriba, y sean a y |3, respectivamente,
los ángulos formados por l y las partes positivas de lo¡> ejes X y Y (ver el ejercicio
19 del grupo 14, Art. 37) . Si 1 no es paralela a ninguno de los ejes coordenados
y contiene al punto fijo P i(jci, y i) , puede demostrarse que (ver el
ejercicio 21 del grupo 14, Art. 37) la ecuación de l puede escribirse en la forma
g
X - Xi y - i/1
eos a eos (3
De aquí, demostrar que una representación paramétrica de la recta l está
dada por
x — xi + f eos a, y — yi + t eos (3,
en donde el parámetro t representa la distancia variable del punto fijo
P i(x i, y i) a cualquier punto P(x, y) sobre l.
7. Discutir la recta cuyas ecuaciones paramétricas son
x = 3 + j t , y = 4 + -í- í,
en donde el parámetro t tiene el significado establecido en el ejercicio 6.