geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

GEOMETRIA ANALITICA PLANA
solamente hay cinco constantes arbitrarias o parámetros independientes.
Por tan to , la ecuación de una cónica está perfectamente determinada
por cinco condiciones independientes, como m áxim o. Por
ejem plo, una cónica está determinada si se conocen las coordenadas
de cinco cualesquiera de sus puntos. Para una parábola , sin em bargo,
sólo se requieren cuatro condiciones, pues en este caso los coeficientes
de la ecuación (1 ) satisfacen la relación B 2 — 4AC = 0. Para d eterm
inar la ecuación de una cónica que pasa por un grupo de cinco puntos
dados, basta sustituir las coordenadas de cada uno de estos puntos en
la ecuación (1) y resolver el sistema resultante de cinco ecuaciones,
para cinco cualesquiera de los coeficientes, en términos del sexto coeficiente
, siempre que este último coeficiente sea diferente de cero.
Si una ecuación algebraica de segundo grado con dos variables contiene
una o más constantes arbitrarias o parámetros independientes,
representa , en general, una familia o sistema de cónicas. Hemos discutido
anteriormente los sistemas de rectas (A rt. 36) y los sistemas
de circunferencias (Art. 42); por tanto , los principios básicos de los
sistemas de curvas son ya familiares al lector. Por ejemplo, la
ecuación
x 1 — 2 xy + ky2 + 2x — y + 1 = 0 (2)
representa una familia de curvas de un parámetro. La ecuación de
cualquier elemento de esta familia puede obtenerse especificando o
determinando un valor particular para k. Así, la ecuación (2) representa
una parábola si k = 1, elipses si k > 1 e hipérbolas si k < 1.
Una familia de cónicas interesante es el sistema formado por las
cónicas que pasan por las intersecciones de dos cónicas dadas. Si u y v
son las funciones de segundo grado en las dos variables x y y , entonces
las dos cónicas dadas pueden representarse por las ecuaciones
u = 0 , (3)
v = 0. (4)
Si las cónicas (3 ) y (4) se cortan, las coordenadas de cualquiera de
los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones (3 ) y (4) y ,
por ta n to , satisfaceñ también a la ecuación
u + kv = 0 (5)
para todos los valores del parám etro k (ver el Artículo 42). E n consecuencia
, la ecuación (5) representa una familia de curvas que pasan
por las intersecciones de las cónicas (3) y (4). Como k es una constante
, el grado de la ecuación (5 ) no puede ser mayor que 2 , y , en
general, la ecuación representará, por lo tanto, un sistema de cónicas.