geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

382 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
6. Las ecuaciones de una recta son
4x + 2y — 3z + 8 = 0, 2x — y + 2z — 11 = 0.
Hallando las coordenadas de dos de los puntos de esta recta, demuéstrese que está
en el plano 2x + 7y — 12z + 49 = 0.
7. Las ecuaciones de una recta son
* — 4y + 5z - 3 = 0, a: + 3y — 3z + 2 = 0.
Poniendo estas ecuaciones en función de los planos proyectantes, demuéstrese
que esta recta está en el plano 3x + 2y — z + 1 = 0.
8. Las ecuaciones de una recta son
5x — 4y,+ 2z — 9 = 0, 2x + y + 2z — 4 = 0.
Empleando el haz de planos que tiene a esta recta por eje, demuéstrese que está
en el plano x — 6y — 2z — 1 = 0 .
9. Demostrar que la recta *-~t— = y ~ ^ está en el plano
4 — 1 2
x — 2y — 3z — 8 = 0.
10. Las ecuaciones de una recta l son
4x — 2y + 7z — 2 = 0, 3x + y — z + 4 = 0,
y la ecuación de un plano 8 es 6jc — 8y + 23z — 14 = 0. Obtener las ecuaciones
paramétricas de l y sustituir estos valores de x, y y z en la ecuación de 8.
Demostrar que la ecuación resultante es una identidad en el parámetro t y, por
tanto, que l está en 8.
11. Demostrar que la recta 7x — y — z + 8 = 0, 3x + — 2z — 3 = 0,
está en el plano 5x — 17y + 4z + 25 = 0 empleando las ecuaciones paramétricas
de la recta.
12. Si una recta es paralela a uno de los planos coordenados, demuéstrese
que tiene solamente dos planos proyectantes diferentes.
13. Hallar la ecuación del plano determinado por la recta
2.v + 2t/ — z + 3 = 0, x — y + 2z + 2 = 0,
y el punto (3, — 1, 2) .
14. Hallar la ecuación del plano determinado por la recta
x + 4 _ y — 1 _ 3z — 2
2 - 1 6
y el punto (2, 0, — 4) .
15. Las ecuaciones de una recta son
4x + 3y — z — 11 = 0, x — 3y + 2z + 1 = 0.
Hallar las coordenadas de cada uno de sus puntos de penetración o trazas en los
planos coordenados.
En cada uno de los ejercicios 16 y 17, redúzcase la forma general dada a una
forma simétrica de las ecuaciones de la recta.
16. x — y + 3z = 4, 2x + y + 3z = 12.
17. 9* + 2y — 3 z — 18, x — 3y — 5z = 15.