geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

380 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Sustituyendo estos valores de y y z en la ecuación (9), obtenemos
x - 3 x - - ^ - + 2 x + ^ - + l = 0 ,
una identidad para todos los valores de x. Esto muestra que las coordenadas de
todos los puntos de la recta (8) satisfacen a la ecuación (9) del plano.
Los planos proyectantes de una recta son una simple ilustración de
un concepto importante en el estudio y construcción de las curvas
generales en el espacio. Este tema será considerado más ampliamente
en el Capítulo XVII.
126. Reducción de la forma general a la forma simétrica. E s claro
que la forma simétrica de las ecuaciones de una recta e s , frecuentemente
, más conveniente que la forma general. Por ejem plo, dada
una recta, por su forma sim étrica, es posible obtener inmediatamente
los números directores de la recta y las oordenadas de uno de sus
puntos. Adem ás, la forma simétrica da tam bién, inm ediatam ente,
las ecuaciones de los planos proyectantes; dada la forma general, es
necesario, casi siem pre, eliminar una o más variables. Por e sto ,
vamos a considerar ahora el problema de reducir la forma general a la
forma sim étrica. E ste método quedará mejor explicado por medio de
un ejem plo.
Ejemplo 1. Las ecuaciones de una recta son
x + 3y — z — 4 = 0, 2x — y + z + b = 0 (1)
Hallar la forma simétrica.
Solución. Del sistema (1) , despejando x en función de y se obtiene
r _ + 2
—""3
y despejando x en función de z, resulta
_ 2z + 14
* - 7 '
Igualando estos resultados, tenemos
_ 2y + 2 _ 2z + 14
— 3 ^ 7
Como en la forma simétrica los coeficientes de las variables deben ser unitarios
y positivos, vamos a escribir estas ecuaciones en la forma
o, para mayor claridad, en la forma
= y j- 1 . z + 7
- % ’
x_ _ y + 1 _ z + 7
2 = ' - 3 - 7 ‘