geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

COORDENADAS POLARES 25 1
84. Fórm ula de la distancia entre dos puntos en coordenadas polares.
Sean Pi(n, 81 ) y P n-{r2, 82 ) (fig. 117) dos puntos dados
cualesquiera. Se tra ta de hallar la distancia d entre P i y P 2 , en
donde d — | P 1 P 2 j . P ara ello emplearemos el par principal de coorde ­
nadas de P i y de P 2 .
Tracem os los radios vectores de P i_ y _ P s, form ando así el triá n ­
gulo OPi P 2 en donde | OPi \ = n , \ OP¡ | = r i , y el ángulo Pi OP2
es igual a 81 — 82. Entonces, por la ley de los cosenos (Apéndice IC . 11).
tenem os
d 2 = n 2 + — 2n r2 eos (di — 82) ¡
de donde ___________________
d = V r i2 + r-i2 — 2n r¡ eos (81 — 82) .
E ste resultado nos dice :
T eorem a 3 . L a distancia d entre dos puntos cualesquiera
Pi ( n , di) y T 2 (r2, 62 ) en coordenadas polares está dada por la fórmula
________
d = v 7 n 2 + i*22 — 2 n 1*2 eos (81 — 82 ).
NOTA. Esta fórmula para d puede obtenerse también por transformación
en coordenadas polares de la fórmula de la distancia entre dos puntos dada en
el teorema 2, Artículo 6, pata coordenadas rectangulares.
Ejemplo. Demostrar que los puntos P¡ ^3, .í.^, P 2 ^7, y ^ 7 P3 ^3, y ^
son los vértices de un triángulo isósceles.
Solución. El triángulo es el representado en la figura 118. Por el teorema 3,
tenemos
= A 32 + 72 - 2 3 . 7 eos ( i = V 58 - 21 V 3
y | P 3 P 2 | = 3» + 72 - 2 . 3 . 7 eos ^ y - = V 58 - 21 V 3.
Por tanto, como | P 1 P2 i = I P 3 P2 |. el triángulo es isósceles.
A