geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PLANO 349
tiene por intercepciones respectivas con los ejes X , Y y Z a los números
a , b y c diferentes de cero, es decir, que determina sobre
los ejes tres segmentos medidos en magnitud y signo por los números
a , b y c . Entonces los tres puntos {a, 0 , 0 ) , (0 , b , 0) y (0 , 0 , c)
están sobre el plan o, y sus coordenadas satisfacen la ecuación ( 1 ).
Por tanto , tenemos las tres ecuaciones
de donde,
Aa + D = 0 , Bb + D = 0 , Ce + D = 0 ,
A = - — , B = , C = - —.
a b ’ c
Sustituyendo estos valores de A , B y C en la ecuación (1), y dividiendo
por — D , obtenemos la ecuación
i + (2)
a b e
La ecuación ( 2 ) se conoce como la forma simétrica de la ecuación de
un plano o forma de las intercepciones, o forma segmentaria. E s una
forma restringida ya que no se puede aplicar, por ejemplo , a un plano
que pasa por el origen. Este resultado conduce al siguiente
T e o r e m a 3 . El plano cuyas intercepciones respectivas con los ejes
X , Y , y Z son los números a , b y c , diferentes de cero, tiene como
ecuación
iL + í + T = 1 '
a b e
Consideremos ahora que el plano (1 ) contiene a los tres puntos no
colineales Pi(xi, yi, zi), Pifa, y2 , 22) y P¡(x3, 2/3 , 23). Entonces
deben cumplirse las tres condiciones siguientes
Ax 1 + By\ + Czi + D = 0 ,
Ax2 -j- Byz Cz2 + D = 0 ,
Ax3 Byi Czs 4" D = 0.
Estas tres ecuaciones, juntas con la ecuación ( 1 ) , constituyen un
sistema de cuatro ecuaciones lineales homogéneas en A , B , C y D .
Dicho sistema tiene una solución diferente de cero, solamente en el
caso de ser cero el determinante del sistema (Apéndice IB , 6 ; teorem
a) , es decir, el determinante de los coeficientes.