geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

326 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Análogamente, para el punto A2. tenemos
x = 1 + 2(~ _ i „ _ -3+2(3) , 5 +2 (-4) _
1+2 3 ’ 1+2 ' 1+2
Las coordenadas del punto medio M, son
-3+3 ,Q 7tmfj=S_i
2 2 2 2
EJERCICIOS. Grupo 50
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. Hallar la distancia entre los puntos Pi (—1, —2, 2) y Pi(2, 4, — 1).
2 . Demostrar que los puntos Pi(— 2, 4, —3), P2 (4, - 3 , - 2 ) y
P 3 (— 3, — 2, 4) son los vértices de un triángulo equilátero.
3. Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son A ( — 2, —3, —2),
B (- 3, 1. 4) y C (2, 3, - 1) .
4. Calculando ciertas distancias, demostrar que los tres puntos
(2, 0, — 1), (3, 2, — 2) y (í, 6 , — 4) son colineales.
5. Determinar la forma que toma la fórmula de la distancia entre dos puntos
(teorema 1, Art. 108) cuando P¡ y P2 están en un plano paralelo al plano
XY y 3 k unidades de él.
6 . Determinar la distancia desde un punto cualquiera P (x, y, 2 ) a cada
uno de los planos y ejes coordenados, y al origen (véase la nota 2 del teorema 1,
Art. 108) . Ordénense los resultados en una tabla y obsérvese la simetría en las
letras x, y y z.
7. Hallar la distancia del punto ( — 2, 6, 3) a cada uno de los planos
coordenados y al origen.
8 . Hallar la distancia del punto (3, — 4, 2) a cada uno de los ejes coordenados.
9. Demostrar que el cuadrado de la distancia de cualquier punto al origen
es igual a la suma de los cuadrados de sus distancias a los planos coordenados.
10. Los puntos extremos de un segmento son Pi(—4, 1, 3) y
P 3 (5, —2, 1). Hallar las longitudes de sus proyecciones sobre los ejes coordenados.
11. Hallar las longitudes de las proyecciones del segmento del ejercicio 10
sobre los planos coordenados.
1 2 . Las longitudes de las proyecciones de un segmento sobre los ejes coordenados
son 2, 2 y — 1, respectivamente. Hallar la longitud del segmento.
13. Los puntos extremos de un segmento s o n P i( x i, yi, z 1) y
P 2 (x2 , z 2) • Demostrar que la longitud de su proyección sobre el plano XY
es igual a \ / (xz — x i) 2 + (y2 — yi) 2 • Sugestión. Usese la figura 156 del
Artículo 108.
14. Uno de los extremos de un segmento de longitud 3 es el punto
(3, 2, 1). Si las coordenadas x y y del otro extremo son 5 y 3, respectivamente,
hállese la coordenada z. (Dos soluciones. )
15. Hallar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que la distancia
del punto (x, y, z) al punto (2, 1, 4) es igual a 5. ¿Qué representa esta
ecuación?