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412 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
generatriz se llam a sección meridiana o m eridiano, y cada circunferencia
descrita por un punto de la generatriz se llam a paralelo de la
superficie
De estas definiciones, tenem os de inm ediato los siguientes hechos :
a) T oda sección m eridiana es congruente con la generatriz y es la
intersección de la superficie con un plano que pasa por el e je .
b) Todo paralelo tiene su centro sobre el eje y está contenido en
un plano perpendicular al e je .
E l estudiante observará que las superficies de los cuerpos estudiados
n en G eom etría elem ental —la esfera
, el cilindro circular recto y
el cono circular recto — son superficies
de revolución.
E n la determ inación de la
ecuación de una superficie de
revolución, no se pierde generalidad
si se tom a la generatriz
en uno de los planos coordenados
y como eje de revolución uno de
los ejes coordenados contenidos
en ese p la n o . E ste procedim iento,
adem ás, conduce a un resultado
m uy sim p le, como veremos
Fig. 182
a h o ra . Según esto , supongamos
que la generatriz G (fig. 182)
contenida en el plano X Y tiene por ecuaciones
f (x , y ) = 0 , 2 = 0 , ( 1)
y supongam os que el eje de revolución es el eje X , tal como aparece
en la figura. Vamos a determ inar la ecuación de esta superficie de
revolución por el m étodo de p arám etro s.
Sea P ( x , y , z ) , un punto cualquiera de la superficie. E l paralelo
que pasa por P corta a G en un punto del plano X Y , digamos
P '(x ' , y ' , z’) , y su centro C está sobre el eje X . P or ser radios del
mismo paralelo , | C P | = | C P ' \ . Pero como
C P ' — y 1, tenem os la relación
y’ — ± \ / y2 + z2 .
T am b ién , como P y P ' están en el mismo plan o ,
C P¡ = V y 2 + z 2
( 2)
x’ — x . (3 )