geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

338 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Esto nos da
— CiC bi bi Cl ai — CiC C l ai
— C2 C b2 b* Cl
a2 — ClC C2 a2
- p h
ai bi ai bi a i bi ai h
a2 h a2 &2 a2 &2 a2 b2
Ahora bien , c no puede ser cero. Porque , si c = 0 , las últimas relaciones
indican que a y b son ambas iguales a cero, lo que está en
contradicción con el corolario 1 del teorema 5, Artículo 1 1 1 . Como
los números directores de una recta no son únicos, podem os, por
sim plicidad, escoger el sistema en que c = 1 . Entonces los números
directores de l son
b i C l Cl ai
b2 C2 C2 a2
h — -
ai 6i
, 0 ai bi
a2 &2 a2 b2
Para mayor simplicidad , multipliquemos este sistema por el denominador
que es diferente de cero. Esto nos da , finalmente , el sistema
de números directores
bi ci ci ai ai bi
a — ) & = , c =
&2 C2 c2 a2 0 2
Este resultado nos dice :
T e o r e m a 8 . Si [ a i , b i , ci ] y [ a2 , b2 , C2 ] son ¡os números directores
dados de dos rectas no paralelas, li y 12 , respectivamente, los
números directores [a , b , c ] de cualquier recta 1 perpendicular a ambas
1 1 y I2 están dados por los determinantes
b i Cl Cl a i a i b i
a = i b = ) c =
b2 C2 C2 a 2 a 2 b2
NOTA. En la práctica, los tres determinantes del teorema 8 pueden obtenerse
simplemente escribiendo primero los dos sistemas dados de números directores
en tres columnas:
a i b i ci
Ü2 b2 c2
El primer determinante se forma de las segunda y tercera columnas, el segundo
de las tercera y primera columnas y el tercero de las primera y segunda columnas.
Nos referiremos en adelante a este esquema como el artificio de los números
directores.