geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

290 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
en donde p es la presión y v es el volumen de un g as, y n y k son
constantes. En particular, si n = 1 , tenemos la relación conocida
como ley de B oy le.
c) Curva de A gnesi. Entre las curvas algebraicas de interés histórico
está la curva de Agnesi o la bruja. Esta curva es el lugar
geométrico de un punto P obtenido como sigue. Sea O A (fig. 137)
un diámetro de un círculo y í su tangente en A . Desde O tracemos
una recta cualquiera l y sean B y C sus puntos de intersección con
la circunferencia y la recta t . Por B tracemos una recta perpendicular
a O A y por C tracemos otra recta paralela a O A ; sea P el punto de
intersección de estas dos rectas. La curva de Agnesi es el lugar geométrico
que describe el punto P a medida que l gira en torno de O .
Para obtener la ecuación de la curva de Agnesi, tomemos el punto
O como origen y el diámetro O A a lo largo del eje Y . La construcción
del punto P ( x , y) es como aparece en la figura 137. Sean D y E
los pies de las perpendiculares trazadas de B a O A y de C al eje X ,
respectivamente. Sea 8 el ángulo que l forma con la parte positiva
del eje X . Como 8 varía a medida que l gira alrededor de O , lo
emplearemos como parámetro, Tracemos la recta A B . Se verifica :
ángulo DBO = ángulo D A B = 8 . Sea a el radio del círculo. Las
coordenadas del punto P{x, y), serán:
x = OE = AC — O A ctg 6 = 2a ctg 8 ,
y = EP = OD — OB sen 8 = O A sen2 8 = 2a sen2 8 .
E l estudiante debe demostrar que la ecuación rectangular de la curva
de Agnesi, obtenida a partir de estas ecuaciones paramétricas, es
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