geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

332 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
en donde se escoge el signo superior o el inferior según que la recta esté
dirigida en un sentido o en el sentido opuesto.
Por el corolario al teorema 4 , Artículo 110, y por las ecuaciones
(2 ) anteriores, tenemos el siguiente
C o r o la r io 1 . De los números directores de una recta uno, cuando
menos , es diferente de cero.
Por el teorema 3 , Artículo 110, tenemos :
C o r o la r io 2 . Un sistema de números directores para la reda que
pasa por los puntos Pi (xi, yi, zi) y P2 (x2 , ya, z2) está dado por
[ x2 - xi, y2 — yi, z2 — zi ].
Ejemplo. Los números directores de una recta l son [2, — 2, — 1]. Hallar
los cosenos directores de l si la recta está dirigida de tal manera que el
ángulo (3 es agudo.
Solución. Por el teorema 5 anterior, los cosenos directores de /, cuando la
recta no está dirigida, son
2
eos a = ± — •" = ± }$, eos {5 = =f Yi, eos y = =f }i.
V 2* + ( - 2 ) 2 + (— l) 2
Como l está dirigida de tal manera que fS es agudo, eos (3 es positivo. Por
tanto, tomando los signos inferiores para los cosenos directores, tendremos
eos a = — %, eos |3 = y3, eos y =
EJERCICIOS. Grupo 51
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. Hallar los cosenos directores de la recta que pasa p o r los puntos
Pi (2, 5, — 1), P2 O, — 2, 4) y que está dirigida de P i a ¿V
2. Hallar los cosenos directores de la recta que pasa p o r los puntos
Pi(—9, 2, 1), P¡(— 7, 0, 2) y que está dirigida de P2 a Pi.
3. Dos de los cosenos directores de una recta son }í y — }i. Hallar el
tercer coseno director.
4. Hallar los cosenos directores de una recta si los ángulos directotes a y ¡3
son 60° y 30°, respectivamente.
5. Hallar los cosenos directores de una recta si a = 45°, y = 60° y (3 es
agudo.
6. Hallar los cosenos directores de una recta si f3 = 45° y a = y.
7. Hallar los cosenos directores de una recta que forma ángulos iguales con
los ejes coordenados.
8. Hallar el valor común de los ángulos directores de la recta del ejercicio 7.
(Dos soluciones.)
9. Por medio de los cosenos directores, demostrar que los tres puntos
(4, 3, 1) , ( — 1, 2, — 3) y ( — 11, 0, — 11) son colineales.