geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 215
74. El indicador I = B- — 4AC. En el Artículo 73 vimos que ,
si los ejes coordenados giran un ángulo 6 , la ecuación general
A x 2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , B ^ 0 , (1)
se transforma en la ecuación
A 'x'2 + B 'x'y' + C 'yn + D 'x' + E 'y ' + F ' = 0 , (2)
en donde,
A ' = A eos2 9 + B sen 9 eos 9 + C sen2 9 ,
B’ — 2(C — A) sen 0 eos 9 + 5(cos2 6 — sen2 9),
C' — A sen2 9 — B sen 9 eos 9 + C eos2 6 ,
D' = D eos 6 + E sen 6 , ^
E' = E eos 6 — D sen 9 ,
F' = F .
Más a ú n , si se selecciona el ángulo de rotación 9 como lo especifica
el teorema 1 del Artículo 73 , la ecuación (2) toma la forma
A 'x'2 + C 'yr2 + D 'x' + E 'y' + F ' = 0. (4)
En el Artículo 71 presentamos un resumen de la naturaleza del
lugar geométrico de la ecuación (4 ). Por ejemplo, si i ' o C ' son
iguales a cero, uno u otro , la ecuación (4) representa una parábola
cuyo eje es paralelo a (o coincidente con) uno de los ejes coordenados,
o constituye uno de los casos excepcionales de dos rectas diferentes o
coincidentes, paralelas a uno de los ejes coordenados, o ningún lugar
geométrico. Ahora direm os, con el fin de una mayor brevedad de
expresión, que la ecuación (4 ) representa una cónica género parábola.
Para los demás casos se usarán términos semejantes al anterior según
las siguientes definiciones:
D e f i n i c i o n e s . 1. Si uno de los dos coeficientes A ' o C es
igual a cero , la ecuación (4 ) representa una cónica género parábola,
es decir, uno cualquiera de los casos especificados en el teorema 3 del
Artículo 56.
2. Si A ' y C ' son del mismo signo , se dice que la ecuación (4 )
representa una cónica del género elipse, es decir, uno cualquiera de los
casos especificados en el teorema 3 del Artículo 62.
3. Si A ' y C ' son de signo contrario , se dice que la ecuación (4)
representa una cónica del género hipérbola, es decir, uno cualquiera
de los casos especificados en el teorema 4 del Artículo 69.
Usando las tres primeras relaciones de (3) y la identidad trigonométrica
sen2 9 + eos2 9 = 1 , podemos demostrar fácilmente que
B '2 - 4A ’C = B 2 - 4 A C . (5)