geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA ELIPSE 183
R ecíprocam ente, consideremos una ecuación de la form a ( 5 ) y
reduzcám osla a la form a ordinaria (2 ) com pletando cuadrados. Obtenem
os
C D 2 + A E 2 - áA C F , n
C A 4A 2C2 [ }
Sea M = — —^ (j2— ■ Si M ^ 0 , la ecuación (6 ) puede
escribirse en la form a
M C + i l í i 1 ’ ( 7 )
que es la ecuación ordinaria de la elip se.
Como A y C deben concordar en sig n o , podem os su p o n er, sin
perder generalidad, que son am bos positivos. P or lo ta n to , si (5 )
debe representar una elip se, la ecuación (7 ) dem uestra que M debe
ser positivo. E l denom inador 4 A2(72 de M es positivo; por ta n to ,
el signo de M depende del signo de su num erador C D 2Jr A E 2 — 4:ACF,
al que designarem os por N . D e acuerdo con esto , com parando las
ecuaciones (6 ) y (7), vem os que , si N > 0 , (5 ) representa una
elipse ; de (6), si N = 0 , (5) representa el punto único
\ 2 A ’ 2 C ) ’
llam ado usualm ente una elipse p u n to , y si N < 0 , la ecuación (6 )
m uestra que (5 ) no representa ningún lugar geom étrico re a l.
U na discusión sem ejante se aplica a la o tra form a de la segunda
ecuación ordinaria de la elipse. P o r tanto , tenem os el siguiente
T e o r e m a 3. S i los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación
Ax2 + C y2 + D x + E y + F = 0
representa una elipse de ejes parálelos a los coordenados, o bien un punto,
o no representa ningún lugar geométrico real.
E jem p lo 2. La ecuación de una elipse es x 2 + 4y2 + 2x — 12y + 6 = 0 .
Reducir esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas del centro,
de los vértices y de los focos; calcular las longitudes del eje mayor, del eje
menor» de cada lado recto y la excentricidad.
S o lu ción . Vam os a reducir la ecuación dada a la forma ordinaria, com pletando
los cuadrados. Resulta:
U 2 + 2*) + 4(!/* - 3 y )= - 6
y (x * + 2x + l) + 4(y2 - 3y + %) = - b + 1 + 9 ,