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426 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
geom étricos representados por e lla . Se puede hacer un estudio semejante
de la ecuafción (1 ) y una clasificación de sus lugares geom étricos,
p e ro , ev id en tem en te, para tres variables la discusión es m ucho m ás
larga y com plicada. Se dem uestra en tratados avanzados que m ediante
una transform ación apropiada de coordenadas, se puede transform
ar la ecuación (1 ) de m anera que tom e una de las dos form as tipo :
(I)
(II)
M x 2 + N y 2 + P z 2 = R
M x 2 + N y 2 = S z.
Las superficies del tipo ( I ) tienen un centro de sim e tría , el origen , y
por esto se llam an cuádricas con centro. Las superficies del tipo (II)
no tienen centro de sim etría y se lla m a n , por lo ta n to , cuádricas
sin centro.
E n la página siguiente se da, en form a de tabla, una clasificación de
las superficies representadas por ecuaciones de los tipos ( I ) y (II).
La naturaleza de estas superficies d ep en d erá, n a tu ra lm e n te , de los
coeficientes, de los cuales uno o m ás pueden ser cero . D ebe observarse
, sin em b arg o , que el núm ero de tales coeficientes nulos es limitado
, p o rq u e , como hemos anotado previam ente ( n o ta 2 del teorem
a 1 1 , A rt. 1 3 8 ), el grado de una ecuación no se altera por una
transform ación de coordenadas en el espacio.
Por una simple observación de estas dos tab las vemos que , si uno
o m ás coeficientes son cero , el lugar geom étrico, si e x iste , está entre
las superficies que hemos estudiado p rev iam en te. E stos lugares geom
étricos incluyen las superficies del cilindro y cono rectos y a ciertas
form as degeneradas que constan de dos planos d iferen tes, dos planos
coincidentes (o un solo p la n o ), dos planos que se c o rta n , una sola
recta (una form a lím ite de un cilindro) , y un p u n to .
Si ningún coeficiente es c e ro , las tablas m uestran que el lugar
geométrico , si e x iste, es una superficie de la cual no hem os discutido
anteriorm ente ningún d e ta lle . E stas superficies son las tres cuádricas
con centro : el elipsoide y los hiperboloides de una y dos h o ja s , y las
dos euádricas no c e n tra le s: los paraboloides elíptico e hiperbólico.
140. Cuádricas con centro. Vamos a considerar ahora las cuádricas
con centro , representadas por la ecuación
M x ¿ + Ny'¿ + Pz2 = R ,
en donde todos los coeficientes son diferentes de cero. Podem os entonces
escribir esta ecuación en la form a
U)