geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 129
2L. Hallar el ángulo agudo que forman las circunferencias x2 + y2 = 17 y
x 2 + y2 — I2x — 4y -j- 11 = 0 en su intersección.
22. Hallar el ángulo agudo que forman la recta 2x + 3y — 6 = 0 y la circunferencia
x 2 + y2 + 2x — 4y — 3 = 0 al cortarse.
23. Demostrar que las circunferencias
x 2 + y2 + 2x — 4y = 0 y x 2 + y2 + 4x + 2y = 0
se cortan ortogonalmente.
24. Demostrar, analíticamente, que las trayectorias ortogonales de una
familia de circunferencias concéntricas están dadas por la familia de rectas que
pasan por su centro común.
25. Si de un punto exterior P se trazan tangentes a una circunferencia, el
segmento que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto de P.
Si P i(x i, y i) es un punto exterior a la circunferencia x2 + y2 = r2, demuéstrese
que la ecuación de la cuerda de contacto de Pi es x ix + yi y = r2.
(Ver ejercicio 10.)
4ó. Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la
circunferencia. La dem ostración analítica de cualquier teorem a sobre
la circunferencia se efectúa siguiendo el procedim iento general discutido
en el A rtículo 11. D e acuerdo con esto , m ientras el teorem a no
se particularice, debe colocarse la circunferencia con su centro en el
origen , ya que en esta posición su ecuación tiene la form a m ás simple ,
la form a canónica,
x1 + y1 = r2.
Ejemplo 1. Demostrar, analíticamente, que cualquier ángulo inscrito en
una semicircunferencia es un ángulo recto.
Demostración. Es evidente que la demostración no perderá generalidad si
colocamos la semicircunferencia con
su centro en el origen, tal como apa­
Y
rece en la figura 63. La ecuación de
la semicircunferencia es entonces
+ y2 = r2 ( 1)
Sea Pi{xi, yi) un punto cualquiera
de la semicircunferencia, y sean A y B
los extremos de su diámetro. Como
r es el radio, es evidente que las coordenadas
de A y B son (— r, 0) y
(r, 0), respectivamente. Tenemos
que demostrar que el segmento P \A
es perpendicular al segmento PiB.
Por tanto, si las pendientes de PiA
vamos a demostrar que
y Pi B son mi y mj, respectivamente,
mi rri2 ------1, (2)
de acuerdo con el corolario 2 del teorema 5, Artículo 10.