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428 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
llam ada form a canónica de una cuádrica con centro. Como para las
secciones cónicas, verem os que es m ás sencillo estudiar las cuádricas a
p a rtir de las form as canónicas de sus ecuaciones. D e la ecuación (1 )
se deduce que cada cuádrica con centro tiene tres planos de sim etría
(los planos coordenados) llam ados planos principales, tres ejes de sim
etría (los ejes coordenados) llam ados ejes principales, y un centro
de sim etría (el origen) llam ado centro de la superficie.
Si todos los coeficientes en la ecuación (1 ) son neg ativ o s, no hay
lugar geom étrico. P or tan to , solam ente quedan tres casos por considerar
, según que el núm ero de coeficientes positivos sea tr e s , dos o
uno. Tenem os entonces los tres siguientes tipos de superficies :
a) Elipsoide — todos los coeficientes positivos.
b) H iperboloide de una hoja —dos coeficientes positivos, uno
n eg ativ o .
c) H iperboloide de dos hojas —un coeficiente p o sitiv o , dos negativos
.
a ) Elipsoide. La form a canónica de la ecuación del elipsoide
es
^2
( 2 )
o
Podem os discutir esta ecuación de acuerdo con los m étodos del A rtículo
129. Las intercepciones con los ejes X , Y y Z son ± a , ± b
y ± c , respectivam ente. Los seis puntos
de intersección del elipsoide y los ejes
coordenados se llam an vértices. E n la
figura 188 se han designado por las
letras A , A ', B , B ’ y C , C ’ . Si
a > b > c , los segm entos A A ' , B B ' y
CC' se llam an , respectivam ente, eje
m a yo r, eje medio y eje menor del elipsoide
.
Todas las trazas sobre los planos co-
Fig. 188 ordenados son elipses.
La superficie es sim étrica con respecto
a todos los planos coordenados, a todos los ejes coordenados, y al
orig en .
T odas las secciones del elipsoide hechas por los planos paralelos a
los coordenados son elipses dentro de los lím ites de la superficie, que es
cerrada y está contenida en su totalidad dentro del paralelepípedo que
tiene por caras los planos x = ± a , y = ± & y z = ± c .