geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

398 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Las transformaciones entre los dos sistemas coordenados pueden efectuarse
por medio de estas ecuaciones y de las siguientes relaciones obtenidas
de ellas:
r = V x 2 + y 2 + z2 , = are eos 5—— 5—— =, 8 = are tq — .
V x + y 2 + z‘ ’ s x
Z/as variaciones para r , y 8 están dadas por los intervalos
r > 0 , 0£ < Jt, 0 < 6 < 2 jt.
EJERCICIO S. Grupo 61
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1 . Demostrar el teorema 4 y su corolario dados en el Artículo 131.
2 . Hallar la ecuación de la superficie esférica cuyo centro es el punto
(3, 2, — 2) y que es tangente al plano x + 3y — 2z + 1 = 0 .
3. Hallar la ecuación de la superficie esférica cuyo centro está sobre el eje X
y que pasa por los dos puntos (3, — 4, 2) y (6, 2, — 1) .
4. Hallar el centro y radio de la superficie esférica cuya ecuación es
x2 + y2 + z2 - 8x + 6y - 12z + 12 = 0.
5. Hallar el área de la superficie esférica cuya ecuación es
9*2 + 9^2 + gz2 _ 36* + n y - 18z + 13 = 0.
6 . La ecuación de una superficie esférica es
x2 + y2 + z2 + 6y — 4z + 9 = 0.
Hallar la ecuación de la superficie esférica concéntrica con ella que es tangente
al plano 2x — 3y + 2z + 4 = 0.
7. Obtener la ecuación de la superficie esférica que pasa por cuatro puntos
dados no coplanares en forma de determinante. (Ver el teorema 3, Art. 41.)
8. Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por los cuatro puntos
(8, 2, 2) , ( - 4, 3, - 3), ( - 1, 2, 5) y (4, 3, - 7) .
9. Demostrar que el plano tangente a la superficie esférica
x2 + y2 + z2 = r2
en el punto Pi (xi, yi, z 1) tiene por ecuación xíx + yiy + zjz = r2.
10 . Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto
( — 1 , 6, — 3) y es tangente al plano 4x + 4y + 7z — % = 0 en el punto
(7, 3, 8) .
1 1 . La traza de una superficie esférica con el plano X Y es la circunferencia
x2 + y2 — 2x — 4y — 3 = 0, z = 0. Hallar la ecuación de la superficie si pasa
por el punto (3, 4, 2).
Los ejercicios 12-17 se refieren a las esferas
Si = x2 + y2 + z2 + Gíx + Hiy + hz + Ki = 0, i = 1, 2, 3, 4.