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390 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
valores reales. La definición establece que, si una ecuación de la
forma (1 ) representa un lugar geom étrico, ese lugar geométrico es
una superficie. Y recíprocamente, si una superficie puede representarse
analíticam ente, tal representación es una sola ecuación de la
forma (1).
Aunque la ecuación (1) contiene tres variables, la ecuación de una superficie
puede contener solamente una o dos variables. Por ejemplo, vimos anteriormente
que una ecuación de la forma x — k. en que k es una constante cualquiera,
representa un plano paralelo al plano YZ. Además, veremos más adelante
que una ecuación de la forma
* 2 + y2 = 4, (2)
considerada en el espacio, representa un cilindro circular recto. Al trabajar en
tres dimensiones, el lector debe cuidarse de referirse a la ecuación (2) como una
circunferencia. Con el fin de evitar tal ambigüedad, generalmente es mejor
referirse a la ecuación (2) como a “ la superficie x2 + y2 = 4” o “ el cilindro
x 2 + y» = 4".
Toda ecuación de la forma (1) no representa necesariamente una superficie.
Por ejemplo, la ecuación
x2 + y2 + 4z2 + 7 = 0
tiene un número infinito de soluciones o ternas de valores para x, y y z. Pero
en ninguna de las ternas son reales los tres valores. Por tanto, en nuestra Geometría
real, decimos que esta ecuación no representa ningún lugar geométrico■
Podemos anotar también que la ecuación
x2 y2 + 4z2 = 0
tiene solamente una solución real, que es x = y = z = 0, y, por tanto, su lugar
geométrico está constituido por un solo punto, el origen.
129. Discusión de la ecuación de una superficie. En la construcción
de curvas planas (Art. 19), vimos que era particularmente ventajoso
discutir la ecuación de una curva antes de trazar su gráfica
correspondiente. Análogam ente, es ventajoso discutir la ecuación de
una superficie antes de construirla. Limitaremos nuestra discusión a
los cinco pasos siguientes :
1. Intercepciones con los ejes coordenados.
2. Trazas sobre los planos coordenados.
3 . Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados
y al origen.
4 . Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.
5. Extensión de la superficie.
Los dos primeros pasos fueron definidos y discutidos en el Artículo
116. Por tanto, dedicaremos el resto de este artículo a una discusión
de los tres pasos restantes.