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450 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Ejemplo 2. Hallar una representación paramétrica de una hélice circular,
definida como el lugar geométrico de un punto que se mueve sobre la superficie
de un cilindro circular recto de tal manera que al mismo tiempo que gira alrededor
del eje del cilindro sigue avanzando en la dirección del mismo, de modo que
la distancia que recorre paralelamente al eje del cilindro es directamente proporcional
al ángulo que describe alrededor de dicho eje.
Solución. Supongamos que la ecuación del cilindro circular es
*3 + y2 = a2, (3)
y sea P0 (fig- 197) , intersección de este cilindro y la parte positiva del eje X,
un punto de la hélice. Sea P (x, y, z) un punto
cualquiera de la hélice. Vamos a tomar como parámetro
el ángulo 9 que describe el punto P en torno
del eje Z, el eje del cilindro (3) . Como P0 es un
punto de la hélice, el ángulo 0 se medirá en sentido
contrario al de las agujas del reloj o sentido positivo,
partiendo de la parte positiva del eje X.
Evidentemente, de la figura, las coordenadas
x y y de P son a eos 8 y a sen 9, respectivamente.
Por la definición de hélice, la coordenada z es directamente
proporcional a 9. Por tanto, si fe > 0 representa
el factor de proporcionalidad, la coordenada z
está dada por k9. De acuerdo con esto, las ecuaciones
paramétricas de la hélice son
x = a eos 6, y = a sen 9, z = k.8, (fe > 0) . (4)
Una porción de la hélice aparece en la figura 197.
Representa la forma de la rosca a la derecha de un
tornillo. Por las ecuaciones paramétricas (4) , vemos
que la hélice está arriba o abajo del plano X Y
según que 0 sea positivo o negativo.
EJERCICIO S. Grupo 70
X. Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta
x = f, y = 3 — r, z = 4 — t,
y el plano 5x + 4y — 2z = 7.
2. Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta
x = t — 2, y = t + 5, z = f + 1,
y el plano 2x — 3y + 7z + 12 = 0.
3. Hallar las coordenadas de los puntos de intersección de la recta
x = 4f, y = r -f- 4, z = 3f + 6,
y la esfera x2 + y2 + z2 — 4* — 2y — 44 = 0.
4. Hallar las coordenadas de los puntos de intersección de la curva
y la superficie x2 — y1 + z2 = 4.
x = 2 eos 6, y = 2 sen 9, z = 2 sen 9,