geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

358 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
T e o r e m a 9 . La forma normal de la ecuación de un plano es
x eos a + y eos |3 + z eos y — p = 0 ,
en donde p es un número 'positivo numéricamente igual a la longitud de
la normal trazada por él origen al plano, y a , (3 y y son los ángulos
directores de dicha normal dirigida del origen hacia el plano.
Vamos a considerar ahora el paso de la forma general de la ecuación
del plano
A x + By + Cz + D = 0 , (1)
a su forma norm al,
x eos a + y eos |3 + z eos y — p = 0. (2)
Si las ecuaciones (1 ) y (2) representan el mismo plano, entonces,
de acuerdo con el apartado (c) del teorema 6 , Artículo 118, se deben
cumplir las cuatro relaciones siguientes entre sus coeficientes correspondientes
:
eos a = kA , (3)
eos (3 = IcB, (4)
eos y = k C , (5)
— p = k D , (6)
en donde k es una constante diferente de cero.
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de cada una de las ecuaciones
(3), (4) y (5), y sumamos, obtenemos
eos2 a + eos2 |3 + eos2 y — k2(A2 + B 2 + C2) ,
la cu al, por el teorema 4 del Artículo 110, se reduce a
de donde,
1 = k2(A2 + B 2 + C2),
jb = ± 1
V A 2 + B 2 + C 2 '
Por ta n to , si multiplicamos la ecuación (1) por este valor de k , se
deduce, de las relaciones (3), (4), (5) y (6), que la forma normal
de la ecuación (1) está dada por
1
en donde k = ±
V a 2 + b 2 + c 5‘
kAx + kBy + kCz + kD = 0 , (7)