geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS 4 7
19. x2 y — x2 — 4 xy + 4 y = 0. 23. x2 y2 — 4 x 2 — 4 y2 = 0.
20. xy2 + 2 xy — y2 + x = 0. 24. x3 — xy2 + 2 y2 = 0.
21. x2 y — x2 + xy + 3x = 2. 25. y3 •+- x2 y — x2 = 0.
22. xy2 — y2 — xy + y = 0.
20. Ecuaciones factorizables. El trazado de curvas se puede simplificar
considerablemente para ciertos tipos de ecuaciones a las que
llamaremos ecuaciones factorizables; es decir, aquellas que pueden escribirse
en forma del producto de dos o más factores variables igualado
a cero. Por ejemplo , es evidente que la ecuación
z2 — y2 — 0 (1)
puede escribirse en la forma equivalente
(x — y)(x + y) = 0. (2)
La ecuación (2) solamente se satisface para valores de x y y que
anulen a u n o , por lo m enos, de los factores de su primer miembro
(Apéndice I B , 2 ). E s decir, la ecuación (2) se satisface para valores
que satisfagan a una cualquiera de las ecuaciones siguientes :
x — y = 0 , (31
x + y = 0. (4 )
Las coordenadas de cualquier punto que satisfagan ya sea a (3) o (4)
satisfarán también (2) y, por tanto , a (1 ). Por lo ta n to , de acuerdo
con la definición 1 del Artículo 14 , la gráfica de la ecuación (1) constará
de dos curvas que son las gráficas de las ecuaciones (3) y (4 ). Se
recomienda al estudiante que trace las gráficas de (3) y (4) y compruebe
que se trata de dos rectas que pasan por el origen y tienen de
pendientes 1 y — 1 , respectivam ente.
En general, si la ecuación
/ (*, y) = 0 (5)
es factorizable, es decir, si / (x, y) puede escribirse como el producto
de dos o más factores variables, la gráfica de (5) constará de las gráficas
de las. ecuaciones obtenidas al igualar a cero cada uno de estos
factores.
21. Intersecciones de curvas. Consideremos dos ecuaciones independientes
f(x, y) = 0 , (1)
g{x, y) = 0 (2 )