geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA HIPERBOLA 199
Por el teorema 9 del Artículo 33, la distancia d de la recta ( 4 ) al
punto P\ ( x \, í/i) está dada por
d =
I bx i — ay i (
V b2 + a2
(5)
Si multiplicam os num erador y denom inador del segundo miembro de
(5 ) por | bx i + ay i1 , obtenemos
| b2 x i2 — a2 y i21
d = ( 6 )
V b2 + a2 I bx i + ayi [
Pero como P i está sobre la hipérbola (1), b2 x i2 — a2 y i2 = a 2 b2, de
m anera que la ecuación (6 ) puede escribirse en la forma
a2b2
d = V b2 + a21 bx i + ayi |
Si P i se mueve hacia la derecha a lo largo de la curva y se aleja indefinidamente
del origen, sus coordenadas, xi y y i , aum entan am bas
de valor sin lím ite, de m anera q u e , por la ecuación ( 7 ) , d decrece
continuam ente y se aproxima a cero. Se sigue , de acuerdo con esto ,
por la definición de asíntota (A rt. 18), que la recta (4 ) es una asínto
ta de la ram a derecha de la hipérbola (1).
Si P i está sobre la parte inferior de la ram a izquierda de la hipérbola
(1 ) y se mueve hacia la izquierda a lo largo de la curva alejándose
indefinidam ente del origen , entonces sus coordenadas xi y y i
aum entan de valor am bas sin lím ite en la dirección negativa. La
ecuación (7 ) m uestra entonces que d decrece continuam ente y tiende
a cero , de donde se sigue que la recta (4 ) es tam bién una asíntota de
la ram a izquierda de la hipérbola (1).
(7)