geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

Esta igualdad nos dice :
EL PUNTO EN EL ESPACIO 335
Teorem a 6 . El ángulo 6 formado por dos rectas dirigidas cualesquiera
en el espacio, cuyos ángulos directores son a i , (3i, yi y
a i , p2, Y2; respectivamente, se determina por la relación
eos 6 = eos ai eos a 2 + eos |3i eos 02 + eos yi eos y i .
D el teorema 6 se deducen los dos siguientes corolarios :
C o r o la r io 1 . Para que dos rectas sean paralelas y del mismo sentido
es condición necesaria y suficiente que sus ángulos directores correspondientes
sean iguales; para que sean paralelas y de sentidos opuestos
es necesario y suficiente que sus ángulos directores correspondientes sean
suplementarios.
C o r o la r io 2 . Para que dos rectas dirigidas sean perpendiculares
es necesario y suficiente que la suma de los productos de sus cosenos
directores correspondientes sea igual a cero.
Ahora vamos a obtener los resultados del teorema 6 y sus dos
corolarios en función de los números directores de las dos rectas.
Sean [ a i , h , ci ] y [a2, £>2 , C2 ] los números directores de las dos
rectas h y U , respectivamente. Por el teorema 5 del Artículo 1 1 1 ,
tenemos
y
eos ai = ± , „ - , eos pi = ± —- ■ ■ — ,
V O12 + 612 + ci2 V a r + bi2 + ci2
C O S C12 =
Cl
eos VI = ± ... — - ,
V ai2 + £>12 + C12
C¡2 n 62
± " = T , COS [J2 = ± - : ..... —~
V a-22 + b22 + c2 V a22 + &22 + C22
c2
eos v 2 = ± ■
V a¿2 + b¡2 + c22
Sustituyendo estos valores en la relación del teorema 6 , obtenemos :
T e o r e m a 7 . El ángulo 6 formado por dos rectas dirigidas cualesquiera
en el espacio , cuyos números directores son [ a i , b i, ci ] y
[&z, b2 , C2 ], respectivamente, está determinado por la relación
. ai a2 .+ bi b2 + ci c2
eos 9 = ± ■ ■ — — - .
V ai2 + bi2 + ei2 V a22 + b22 + c22
N o ta . El doble signo indica que hay dos valores de 6, suplementarios
entre sí. Un valor específico de 0 puede obtenerse siempre considerando los dos
sentidos de las rectas. Esto se ilustra en el ejemplo que damos a continuación.