geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

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404 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO las cuales, evidentem ente, permiten localizar cualquier punto de la superficie cilindrica (1 ) cuando se conocen los valores de r , 8 y z. Por e sto , estas cantidades se llaman coordenadas cilindricas del punto P y se escriben ( r , 8 , z ) . De una manera más general, si un punto fijo (el origen O ) , una recta fija (el eje X ) y un plano dado (el plano X Y ) son tomados como elementos de referencia, entonces, con las coordenadas cilindricas ( r , 6 , z ) , se puede localizar cualquier punto en el espacio. Tenemos así el sistema de coordenadas cilindricas. E l ángulo 6 puede medirse . como en Trigonom etría, con la parte positiva del eje X como lado inicial. Para que las coordenadas cilindricas ( r , 0 , z) representen un punto único en el espacio, restringimos los valores de r y 8 a los intervalos r > 0 , 0 < 0 < 2 jt. La coordenada z no se sujeta a ninguna restricción, sino que puede tom ar cualquier valor re al. Eliminando 8 y z de las relaciones (2), obtenemos la ecuación (1). Por ta n to , las ecuaciones (2 ) son las ecuaciones paramétricas de la superficie cilindrica circular recta (1), siendo las variables 8 y z los parám etros. Las relaciones (2 ) pueden emplearse como ecuaciones de transformación entre los sistemas de coordenadas rectangulares y cilindricas. De las dos primeras de estas relaciones obtenem os, como en el sistema de coordenadas polares de la Geometría analítica plana (Art. 81), las relaciones /----------- v y r = v x2 + y 2, 6 = are tg — , sen 6 = / , . T > a ° x ’ v x2 + y2 x COS 8 ^—: % ) V x- + y2 las cuales pueden emplearse como ecuaciones de transformación entre los dos sistem as. Vamos a hacer un resumen de los resultados anteriores en el siguiente T eorem a 7 . Las coordenadas rectangulares ( x , y , z) y las coordenadas cilindricas ( r , 8 , z) de un punto en el espacio están ligadas por las relaciones x = r eos 8 , y = r sen 8 , z = z
SUPERFICIES 405 Se pueden efectuar las transformaciones entre los dos sistemas coordenados por medio de estas ecuaciones y de las siguientes relaciones obtenidas de ellas. ,----- y y r = V x2 + y 2, 9=arctg — , sen 6 = , . ■= > x V x2 + y2 x eos e = / 2 , ■ V x 2 + y- Las variaciones para r y 9 están dadas por los intervalos r>0, O
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CA PITULO V III L A H IP E R B O L
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