geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

384 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Vamos a considerar ahora el caso (fig. 170) en que la recta l no
es ni paralela ni perpendicular al plano 8. Sea V la proyección de l
sobre 8. El ángulo formado por la recta l y el plano 8 se define
como el ángulo agudo formado por la recta l y su proyección l'
sobre 5 . Sea n la normal a 5 en P , punto de intersección de l y 8.
Entonces las rectas n , l y l 1 están en un mismo plano y el ángulo
Fig. 170
es el complemento de 8 , el ángulo agudo formado por n y l. Pero,
por el teorema 7 del Artículo 112, el ángulo agudo 6 está determinado
por la relación
„ | Aa + Bb + Ce I t n x
eos 6 = —- = = = — ■= - . (3 )
V A 2 + B 2 + C 2 V a2 + b* + c3
Por ta n to , como eos 8 — sen (90° — 8 ) = sen , se sigue que sen 4>
está determinado por el segundo miembro de la ecuación (3). De aquí
el siguiente
T eorem a 5. El ángulo formado por la recta cuyos números
directores son [ a , b , c ] y el plano Ax + By + Cz + D = 0 es el
ángulo agudo determinado por la fórmula
, | Aa 4- Bb + Ce |
sen 9 ; V A 2 + B 2 + C2 V a2 + b2 + e2
NOTA. El teorema 4 puede obtenerse directamente del teorema 5. Esta
deducción se deja como ejercicio al estudiante. (Ver los ejercicios 3 y 4 del
grupo 59 al final de este capítulo.)
Ahora vamos a considerar la determinación de la distancia d
(fig. 171) de un punto dado Pi a una recta dada l en el espacio.