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434 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Las trazas sobre los planos X Y , XZ y YZ so n , respectivam ente,
í
el origen , la parábola —1 = cz, y = 0 , y la parábola ~y¡ = c z , x — 0.
La superficie es sim étrica con respecto a los planos YZ y XZ y
con respecto al eje Z .
Las secciones de las superficies por planos paralelos al XY son las
curvas
-.2
—¿ + - ^ = c k ,z= k . (3 )
E stas curvas son elipses si c y fe son del mismo signo ; si c y fe tienen
signos contrario s, no hay lugar geom étrico. Si tom am os c como positivo
, fe debe ser p o sitiv o , y a m edida
que fe aum enta de v a lo r, las elipses (3 )
crecen en tam año a m edida que los planos
de corte se alejan m ás y m ás del
plano X Y . E v id en tem en te, p u es, la
superficie no es cerrada sino que se extiende
indefinidam ente, alejándose del
plano X Y . Se ve fácilm ente que las
secciones de la s u p e r f i c i e por planos
paralelos a los planos XZ y YZ son
parábolas cuyos vértices se alejan del
plano XY a m edida que se tom an los
planos de corte m ás y m ás lejos de estos
planos coordenados.
U na porción de la superficie, en el caso de ser c p o sitiv o , aparece
en la figura 191. Si c es negativo la superficie está en su totalidad
abajo del plano X Y . Se dice de cada superficie que se extiende a lo
largo del eje Z . C ualquier paraboloide elíptico se extiende a lo largo
del eje coordenado correspondiente a la variable de prim er grado en la
form a canónica de su ecuación.
Si en la ecuación (2 ) es a = b, la superficie es un paraboloide
de revolución que puede e n g e n d r a r s e haciendo girar la parábola
y^
-p = c z , x — 0 , en torno del eje Z . (Véase el ejemplo 1 del Ar­
tículo 130.)
b j Paraboloide hiperbólico. U na forma canónica de la ecuación
del paraboloide hiperbólico es