geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

72 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
to de intersección de las mediatrices) y el ortocentro (punto de intersección de
las alturas) son colineales.
26. Demostrar analíticamente que el baricentro, circuncentro y ortocentro
de cualquier triángulo son colineales. La recta que los une se llama recta de
Euler.
27. Desde el punto (6, 0) se trazan perpendiculares a los lados
5.v — y — 4=0, y = 1 y x — y — 4 = 0 de un triángulo. Demostrar que
los pies de estas perpendiculares son colineales.
28. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (a. b) y por la
intersección de las rectas — + — = 1 y í + ¿ = I.
a b b a
29. Una recta se mueve de tal manera que la suma de los recíprocos de los
segmentos que determina sobre los ejes coordenados es siempre igual a una cons­
tante k jé 0. Demostrar que la recta pasa siempre por el punto fijo
30. Hallarla longitud de la perpendicular bajada del punto P¡ (xi, yi) a la
recta l : Ax + By + C = 0. Demostrar, a partir de esto, que la distancia d del
punto Pi a la recta / está dada por
d =
\ Ax \ + Byi + C |
V a * + b 2
31. Forma normal de la ecuación de la recta. Consideremos un
segmento OP\ de longitud p y con uno de sus extremos O siempre en
el origen, tal como puede verse en la figura 41. La posición exacta
de este segmento de recta en el plano coordenado está determinada
por el ángulo tu , que , como en Trigonometría , es el ángulo positivo
engendrado por el radio vector OPi al girar alrededor del origen
(Apéndice IC , 1 ). De acuerdo con esto , la longitud p se considera
siempre positiva, y la variación de los valores del ángulo cu viene
dada por
0o < w < 360° . ( 1 )
Es evidente que, para un par cualquiera de valores dados de p y co,
la recta l trazada por P i(x i, yi) perpendicular a OPi queda perfectam
ente determ inada. Ahora obtendremos la ecuación de l por medio
de la fórmula de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente
d a d a .
Por Trigonometría , para cualquier posición de la recta l ,
Xi = p eos cu , y i = p sen cu. ( 2 )
Por tanto , las coordenadas del punto P i son {p eos to , p sen co).
Para las posiciones (a) y (b) (fig. 41) el ángulo de inclinación
del segmento OPi es co, y , por ta n to , su pendiente es tg co.