geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA HIPERBOLA 193
en donde a es una constante positiva y 2a < 2c.
métrica (. 1) es equivalente a las dos relaciones,
La condición geo-
| FP | — [ F ' P | = 2 a, (2)
| ¥ P | — | F ? | = — 2a. (3)
La relación (2 ) es verdadera cuando P está sobre la ram a izquierda
de la hipérbola; la relación (3 ) se verifica cuando P está sobre la
ram a derecha.
Por el teorem a 2 , Artículo 6 , tenemos
I F P \ = V (x — c)2 + y2, ¡ F 'P \ = V (x + c)2 + y2,
de m anera que la condición geométrica (1) está expresada analíticam
ente por
v7 (x — c)2 + y 2 — V (x + c)2 + y2 = 2 a , (4 )
V (x — c)2 + y2 — V {x + c)2 + y2 = — 2 a , (5)
correspondiendo las ecuaciones (4 ) y (5 ) a las relaciones (2) y (3),
respectivam ente.
Por el mismo procedimiento usado al transform ar y simplificar la
ecuación (2) del Artículo 61 para la elipse, podemos dem ostrar que
las ecuaciones (4 ) y (5 ) se reducen cada una a
(c2 — a 2 )x2 — a2 y 2 = a2 (c2 — a2). (6)
Por ser c > a , c2 — a 2 es un número positivo que podemos designar
por 62. Por ta n to , sustituyendo en la ecuación (6 ) la relación
b2 = c2 — a2, (7)
obtenemos
b2x 2 - a2y 2 = a2b2,
que puede escribirse en la forma
,,3
b2 = 1 . ( 8 )
Podemos dem ostrar recíprocam ente, que si P i i x i , y i) es un punto
cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (8), entonces Pi
satisface la condición geométrica ( 1) y , por lo ta n to , está sobre la
hipérbola. Luego la ecuación (8) es la ecuación de la hipérbola.
Estudiem os ahora la ecuación (8 ) de acuerdo con el Artículo 19.
Las intersecciones con el eje X son a y — a. Por ta n to , las coordenadas
de los vértices V y V son (a , 0) y (—o, 0), respectiva­