geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PLANO 353
embargo, que aquí y en nuestro estudio posterior de la Geometría analítica de
tres dimensiones, una sola ecuación en una, dos o tres variables, si tiene un
lugar geométrico, representa en el espacio una superficie y no una curva.
Consideremos ahora la ecuación lineal homogénea en dos variables,
es decir, una ecuación en la cual falte el término constante. Entonces,
para D = 0 , la ecuación (10) toma la forma
A x + By = 0. (11)
Este plano pasa por el origen , y como es perpendicular al plano X Y ,
debe pasar también por el eje Z . Análogamente, podemos demostrar
que los planos A x+ C z = 0 y B y+ C z = 0 pasan por los ejes Y y X ,
respectivam ente. Por tanto , tenemos el siguiente
C o r o l a r io . Una ecuación lineal homogénea en dos variables representa
un plano que pasa por el eje coordenado a lo largo del cual se mide
la variable que no aparece en la ecuación, y reciprocamente.
Finalmente , consideremos la ecuación lineal en una variable solamente
. Supuesto B = C = 0 , la ecuación (1) toma la forma
A x + D = 0. (12)
Los números directores de la normal al plano (12) son [ A , 0 , 0] o
[ 1, 0 , 0 ] . Los números directores del eje X son [ 1, 0 , 0 ]. Por
tan to , el plano (12) es perpendicular al eje X y , en consecuencia,
es paralelo al plano Y Z . Análogamente, podemos demostrar que el
plano By + D = 0 es perpendicular al eje Y y paralelo al plano X Z ,
y que el plano Cz + D = 0 es perpendicular al eje Z y paralelo al
plano X Y . Por tanto , tenemos el siguiente
T e o r e m a 8 . Una ecuación lineal en una sola variable representa
un plano perpendicular al eje coordenado a lo largo del cual se mide esa
variable y paralelo al plano de las dos variables que no figuran en la
ecuación , y recíprocamente.
C o r o l a r io . Las ecuaciones x = 0 , y = 0 y z = 0 representan,
respectivamente, a los planos coordenados Y Z , XZ y X Y , y recíprocamente
.
El estudiante debe tabular los resultados de los teoremas 7 y 8 y
sus corolarios y observar la simetría en las letras x , y y z. (Véase el
ejercicio 6 del grupo 50 , A rt. 109.)
Ejemplo 1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto
P (2, 1, — 3) y es paralelo al plano 5* — 2y + 4z — 9 = 0.